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1、2017年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题1已知全集U=R,集合A=x|x2或x2,则UA=()A(2,2)B(,2)(2,+)C2,2D(,22,+)2若复数(1i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A(,1)B(,1)C(1,+)D(1,+)【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A2BCD4若x,y满足,则x+2y的最大值为()A1B3C5D95已知函数f(x)=3x()x,则f(x)()A是偶函数,且在R上是增函数B是奇函数,且在R上是增函数C是偶函数,且在
2、R上是减函数D是奇函数,且在R上是减函数6某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A60B30C20D10【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥,该三棱锥的体积=10故选:D【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7设,为非零向量,则“存在负数,使得=”是0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:,为非零向量,存在负数,使得=,则向量,共线且方向相反,可得0反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足0,而=不成立,为非零向量,则“存在负数,使得=”是0”的充分不必要条件故选:A8根据有关资
3、料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是()(lg30.48)A1033B1053C1073D1093【分析】根据对数的性质:T=,可得:3=10lg3100.48,代入M将M也化为10为底的指数形式,进而可得结果【解答】解:由题意:M3361,N1080,根据对数性质有:3=10lg3100.48,M3361(100.48)36110173,=1093,故本题选:D【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式:T=,考查指数形式与对数形式的互化,属于简单题二、填空题9在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始
4、边,它们的终边关于y轴对称,若sin=,则sin=推导出+=+2k,kZ,从而sin=sin(+2k)=sin,由此能求出结果【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,+=+2k,kZ,sin=,sin=sin(+2k)=sin=故答案为:【点评】本题考查角的正弦值的求法,考查对称角、诱导公式,正弦函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是基础题10若双曲线x2=1的离心率为,则实数m=2【分析】利用双曲线的离心率,列出方程求和求解m 即可【解答】解:双曲线x2=1(m0)的离心率为,可得:,解得
5、m=2故答案为:2【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查计算能力11已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是,1解:x0,y0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1x)2=2x22x+1,x0,1,则令f(x)=2x22x+1,x0,1,函数的对称轴为:x=,开口向上,所以函数的最小值为:f()=最大值为:f(1)=22+1=1则x2+y2的取值范围是:,1故答案为:,112已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(2,0),O为原点,则的最大值为6【解答】解:设P(cos,sin).=(2,0),=(cos+2,sin)则=2(cos+2)6,当且仅当cos=1时取等号故答
6、案为:613能够说明“设a,b,c是任意实数若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为1,2,3【解答】解:设a,b,c是任意实数若abc,则a+bc”是假命题,则若abc,则a+bc”是真命题,可设a,b,c的值依次1,2,3,(不唯一),故答案为:1,2,314某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4,则女学生人数的最大值为6该小组人数的最小值为12【解答】解:设男学生女学生分别为x,y人,若教师人数为4,则,即4yx8,即x的最大值为7,
7、y的最大值为6,即女学生人数的最大值为6设男学生女学生分别为x,y人,教师人数为z,则,即zyx2z即z最小为3才能满足条件,此时x最小为5,y最小为4,即该小组人数的最小值为12,故答案为:6,12三、解答题15已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求an的通项公式;()求和:b1+b3+b5+b2n1【分析】()利用已知条件求出等差数列的公差,然后求an的通项公式;()利用已知条件求出公比,然后求解数列的和即可【解答】解:()等差数列an,a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,所以an的通项公式:an=1+(n
8、1)2=2n1()由()可得a5=a1+4d=9,等比数列bn满足b1=1,b2b4=9可得b3=3,或3(舍去)(等比数列奇数项符号相同)q2=3,b2n1是等比数列,公比为3,首项为1b1+b3+b5+b2n1=16已知函数f(x)=cos(2x)2sinxcosx(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x,时,f(x)【解答】解:()f(x)=cos(2x)2sinxcosx,=(co2x+sin2x)sin2x,=cos2x+sin2x,=sin(2x+),T=,f(x)的最小正周期为,()x,2x+,sin(2x+)1,f(x)【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正
9、弦函数的图象和性质,属于基础题17某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图:()从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;()已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;()已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【分析】()根据频率=组距高,可得分数小于70的概率为:1(0.04+0.02)10;()先计
10、算样本中分数小于40的频率,进而计算分数在区间40,50)内的频率,可估计总体中分数在区间40,50)内的人数;()已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等进而得到答案解:()由频率分布直方图知:分数小于70的频率为:1(0.04+0.02)10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率为0.4;()已知样本中分数小于40的学生有5人,故样本中分数小于40的频率为:0.05,则分数在区间40,50)内的频率为:1(0.04+0.02+0.02+0.01)100.05=0.05,估计总体中分数在区间40,50)内的人数为4000.0
11、5=20人,()样本中分数不小于70的频率为:0.6,由于样本中分数不小于70的男女生人数相等故分数不小于70的男生的频率为:0.3,由样本中有一半男生的分数不小于70,故男生的频率为:0.6,即女生的频率为:0.4,即总体中男生和女生人数的比例约为:3:2【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本估计总体,难度不大,属于基础题18如图,在三棱锥PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积【分析】(1)运用线面垂直的判定定理可得
12、PA平面ABC,再由性质定理即可得证;(2)要证平面BDE平面PAC,可证BD平面PAC,由(1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面ABC,再由等腰三角形的性质可得BDAC,运用面面垂直的性质定理,即可得证;(3)由线面平行的性质定理可得PADE,运用中位线定理,可得DE的长,以及DE平面ABC,求得三角形BCD的面积,运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值【解答】解:(1)证明:由PAAB,PABC,AB平面ABC,BC平面ABC,且ABBC=B,可得PA平面ABC,由BD平面ABC,可得PABD;(2)证明:由AB=BC,D为线段AC的中点,可得BDAC,由PA平面ABC,PA平面P
13、AC,可得平面PAC平面ABC,又平面ABC平面ABC=AC,BD平面ABC,且BDAC,即有BD平面PAC,BD平面BDE,可得平面BDE平面PAC;(3)PA平面BDE,PA平面PAC,且平面PAC平面BDE=DE,可得PADE,又D为AC的中点,可得E为PC的中点,且DE=PA=1,由PA平面ABC,可得DE平面ABC,可得SBDC=SABC=22=1,则三棱锥EBCD的体积为DESBDC=11=【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断,主要是平行和垂直的关系,注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理,面面垂直的判定定理和性质定理,同时考查三棱锥的体积的求
14、法,考查空间想象能力和推理能力,属于中档题19已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为()求椭圆C的方程;()点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E求证:BDE与BDN的面积之比为4:5【分析】()由题意设椭圆方程,由a=2,根据椭圆的离心率公式,即可求得c,则b2=a2c2=1,即可求得椭圆的方程;()由题意分别求得DE和BN的斜率及方程,联立即可求得E点坐标,根据三角形的相似关系,即可求得=,因此可得BDE与BDN的面积之比为4:5【解答】解:()由椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程:(ab0),则a=2,e=,则c=,b2=a2c2=1,椭圆C的方程;()证明:设D