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1、导函数的综合应用导函数的综合应用【典型例题】考点一、利用导数研究函数的零点或方程的根【例1】(2015高考北京卷)设函数f(x)kln x,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点【变式训练1】已知函数f(x)2xln xx22axa2,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解考点二、利用导数研究不等式恒成立的问题【例2】已知函数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若m1,求函数f(x)的单调区间;(2)若对
2、任意的xf(x)恒成立,求m的取值范围【变式训练2】已知函数f(x)(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数(x)xf(x)tf(x),存在实数x1,x20,1,使得2(x1)0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值;(3)若f(x)1的解集为 () A.(3,2)(2,3) B.(,) C.(2,3) D.(,)(,)4.已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数,则m的取值范围是() A.m2 B.m2 C.m0时,f(x)0,g(x)0,则当x0,g(x)0 B.f(x)0,g(x)0 C.f(x)0 D.f(x
3、)0,g(x)1,函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(,)上仅有一个零点;(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m 1.导函数的综合应用标准答案典型例题【例题1】解(1)由f(x)kln x(k0),得x0且f(x)x.由f(x)0,解得x.f(x)与f(x)在区间(0,)上的情况如下:x(0,)(,)f(x)0f(x)所以,f(x)的单调递减区间是(0,单调递增区间是,);f(x)在x处取得极小值f().(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,)上的最小值为f().因为
4、f(x)存在零点,所以0,从而ke.当ke时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()0,所以x是f(x)在区间(1,上的唯一零点当ke时,f(x)在区间(0, )上单调递减,且f(1)0,f( )0,所以f(x)在区间(1, 上仅有一个零点综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1, 上仅有一个零点【变式训练1】解:(1)由已知,函数f(x)的定义域为(0,),g(x)f(x)2(x1ln xa),所以g(x)2.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增(2)证明:由f(x)2(x1ln xa)0,解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x
5、)2(1ln x)22xln x,则(1)10,(e)2(2e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0),其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知,函数u(x)在区间(1,)上单调递增,故0u(1)a0u(x0)u(e)e21,即a0(0,1)当aa0时,有f(x0)0,f(x0)(x0)0.再由(1)知,f(x)在区间(1,)上单调递增,当x(1,x0)时,f(x)f(x0)0;当x(x0,)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)0;又当x(0,1时,f(x)(xa0)22xln x0.故x(0,)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得
6、f(x)0恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解【例题2】解:(1)m1时,f(x)(1x)exx2,则f(x)x(2ex),由f(x)0,得0xln 2,由f(x)0,得xln 2,故函数的增区间为(0,ln 2),减区间为(,0),(ln 2,)(2)f(x)mxx2(m2)x,即:mxexx2mx0.x0.令h(x)mexxm,则h(x)mex1,当m0时,h(x)在xh(0)0.当0m1时,h(x)在xh(0)0.当m1时,h(x)在(,ln m)上为减函数,在(ln m,0)上为增函数,h(ln m)h(0)0,不合题意综上:m1.【变式训练2】解:(1)函数的定义域为R,f(
7、x),当x0,当x0时,f(x)0,f(x)在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减(2)假设存在x1,x20,1,使得2(x1)(x2)成立,则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex,(x).当t1时,(x)0,(x)在0,1上单调递减,2(1)31.当t0时,(x)0,(x)在0,1上单调递增,2(0)(1),即t32e0.当0t1时,若x0,t),(x)0,(x)在(t,1上单调递增,所以2(t)max(0),(1),即20,f(x)0,故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知,f(x).若a1,则xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)minf(1)a,a(舍去).若ae,则xa0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减函数,f(x)minf(e)1,a(舍去).若ea1,令f(x)0得xa,当1xa时,f(x)0,f(x)在(1,a)上为减函数;当ax0,f(x)在(a,e)上为增函数,f(x)minf(a)ln(a)1,a.综上所述,a.(3)f(x)x2,ln xx