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1、大数定律及中心极限定理,1. 大数定律,一. 问题的提出:,1. 当n足够大时, 频率 是否收敛到相应的概率p，即,伯努利大数定律,辛钦大数定律,算术平均值近似于精确值的依据,由切比雪夫不等式可得,相互独立,一、切比雪夫大数定律:,设X1, X2, , Xn, 是相互独立随机变量序列,由切比雪夫不等式可得,特殊情况,设X1, X2, , Xn, 相互独立, 且同分布,设nA是n次独立重复试验中A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率, 则,伯努利大数定律,伯努利大数定律说明： 事件A发生的频率nA/n依概率收敛到事件A发生的概率p.,三. 辛钦大数定律:,设X1, X2, , Xn,
2、相互独立同分布, 且期望,注：辛钦大数定律对方差不做要求。,2. 中心极限定理,一. 问题提出:,对于相互独立随机变量序列 X1, X2, , Xn, ; 若对任意的i=1,2, EXi, DXi 存在, 令,一. 独立同分布的中心极限定理:,设 Xk (k=1, 2, ) 相互独立, 服从同一分布且,练习： 某种电子元件40个，其寿命服从 参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次 工作, 求总工作时间不足380小时的概率。,二. 德莫佛-拉普拉斯定理:,例2 有800台电话分机，独立使用，每台话机约 有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外 线才能90%以上的保证各分机用外线不必等候。,解：设X为需用外线的台数，XB(800,0.05). 即求最小的N,使得,练习：1.在一家保险公司里有10000人参加保险, 每人每 年付12元保费, 在一年内一个人死亡的概率为0.0004, 死亡者其家属可向保险公司领得20000元赔偿费. 求： (1) 保险公司亏损的概率为多大？ (2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？,2.投掷硬币问题,三 林德贝格中心极限定理,(1)（林德贝格条件）设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立，具有有限的数学期望及方差：,(2)(林德贝格定理）对任意实数x, 有,
