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1、第三章 光纤传输的波动理论,主要内容,3.1 光纤模式理论概述 3.2 波动光学基础 3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解 3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式 3.6 三个重要参数 3.7 运用边界条件得出本征方程 3.8 由本征方程出发讨论模式的分类和性质 3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 3.10 若干低阶模式的色散曲线 3.11 阶跃光纤中的线性偏振模 3.12 LP模的场分布形式（与下标l,m的关系） 3.13 导模纵向功率流 3.14 主模式号、模组、模群和模角 3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的
2、分布 3.16 阶跃光纤中导模数量 3.17 波动光学结果与几何光学结果的对照 3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法 3.19 多模渐变型光纤的模式特性 3.20 单模光纤的模式特性,光纤模式的激励（光的入射） 光纤中的模式分布（光线传播轨迹） 模式的传播速度（光线的时延） 模式沿光纤横截面的场分布 光信号的传输损耗 光信号的畸变 模式的偏振特性 模式的耦合,光波导要研究的主要问题,3.1 光纤模式理论概述,模式电磁场场形,导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。 波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。,3.1 光纤模式理论概述,模式电磁场场形
3、,模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。 一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。,3.1 光纤模式理论概述,麦克斯韦方程组 波动方程（亥姆霍兹方程） 传播常数 相速度和群速度 图（缺）,3.2 波动光学基础,第二章已讲过,包含内容,传播常数,对于齐次亥姆霍兹方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立：,此式的通解为,于是可得,其中,相位常数 （传播常数）,衰减常数,传播常数,表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量,3.2 波动光学基础,相速度和群速度,群速度就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是
4、电磁波实际前进的速度。 相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。,3.2 波动光学基础,9,本征值问题,如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中该函
5、数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。,波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解本征解及其对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。,3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立,光纤中电磁波的假设解,假设波导中存在如下形式的模式解,光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在损耗和增益）,3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立,根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中）,可得出,推导过程3.1,3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立
6、,直角坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系,推导过程3.2,3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立,圆柱坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系,3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,阶跃光纤实际结构 求解时建立的对应物理模型,为什么使用包层光纤而不用裸光纤？,3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,利用分离变量法,得到,3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,其中,？,3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式,3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式,3.6 三个重要参量,3.7 运用边界条
7、件得出本征方程,推导过程3.3,3.7 运用边界条件得出本征方程,模式及其基本性质,TEM模 TE模 TM模 HE或EH模,光纤中的模式：HE（EH）模，TE（TM）模,3.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质,光纤中模式的偏振特性、 场强关系和相位关系3.4,T:Transverse E:Electric field M:Magnetic field,讨论本征方程,3.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质,3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,模式临近截止条件和远离截止条件,关注包层中电磁场分量表达式, 形式为衰减的指数函数。 所以当，电磁波在包层中快速衰减，被很
8、好地 束缚在纤芯中远离截止条件 而当时，电磁波在包层中衰减及其缓慢，从包层辐射出去临近截止条件,3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,导出过程3.6,3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,3.10 若干低阶模式的色散曲线,上图左纵坐标表示各导模的有效折射率,右纵坐标表示归一化变量,1.对b的范围的讨论（光能量是否被良好地闭锁在纤芯中） 2.模式出现的先后顺序,3.10 若干低阶模式的色散曲线,弱导近似weakly guiding approximation,前面讨论了本征方程的精确解，直观意义
9、不明确并且比较复杂。 下面讨论弱导近似下的本征方程。,此时，本征方程可简化为,3.11 阶跃光纤中的线性偏振模,统一形式：,推导过程3.7,3.11 阶跃光纤中的线性偏振模,3.11 阶跃光纤中的线性偏振模,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,推导过程3.8（书上P3537）,将传播常数相近的 +1, , 1, 模式的本征解进行线性叠加， 可得线性偏振模的具体表达式,简并度,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,推导过程3.9（书上P41-42页）,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场
10、分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系,3.13 导模纵向功率流,左边b=0.9，右边b=0.1,书P4243,3.14 主模式号、模组、模群和模角,书P4344,3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,电力线、磁力线方程 的推导3.10,3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,3.15 阶跃光纤中导
11、模电力线和磁力线的分布,3.16 阶跃光纤中的导模数量,截止状态的特征方程为 1 = 1 =0 利用贝塞尔函数的大宗量近似 得 4 - (1) 2 =(2n+1) 2 即 =(2+) 2 由于=0,1,2,;=1,2,3, 故 = = 2 -2 由于简并度一般为4，故模数量为 =4 1 2 ( 2 -2)=4( 2 2 - ) 2 2,TE/TM 子午光线 EH/HE 偏斜光线,3.17 波动光学结果与几何光学结果的对照,3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法,3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法,当 随不发生变化时，此即为整阶贝塞尔方程 当 随发生变化时，可采用WKBJ
12、法求解,3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法,定态薛定谔方程,波函数的位置分量,势能,质点能量,渐变折射率光纤波动方程可演变为如下形式,演变过程3.11,3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法,传输常数 多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为,式中， n1、 g和k前面已经定义了，M是模式总数， m()是传输常数大于的模式数。,经计算,多模渐变型光纤的模式特性传播常数,3.19 渐变型折射率光纤模式特性,对于突变型光纤，g，M=V2/2； 对于平方律渐变型光纤，g=2，M=V2/4。 根据计算分析，在渐变型光纤中， 凡是径向模数l和方位角模数m的组合满足 q=2m+l 的模式
13、，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为模式群。,q称为主模数，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式， 把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m()=q2。 模式总数M=Q2，Q称为最大主模数，表示模式群总数。 用q和Q代替m()和M，得到第q个模式群的传输常数,多模渐变型光纤的模式特性模式数量,3.19 渐变型折射率光纤模式特性,光强分布 多模渐变型光纤端面的光强分布(又称为近场)P(r)主要由折射率分布n(r)决定，,式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。,多模渐变型光纤的模式特性光强分布,3.19 渐变型折射率光纤模式特性,光强分布和模场半径 通常认为单模光纤基模H
14、E11的电磁场分布近似为高斯分布,式中，A为场的幅度，r为径向坐标，w0为高斯分布1/e点的半宽度，称为模场半径。 实际单模光纤的模场半径w0是用测量确定的，常规单模光纤用纤芯半径a归一化的模场半径的经验公式为,(r)=A exp,0.65+1.619V-1.5+2.879V-6 =0.65+0.434 +0.0149,单模光纤的模式特性模场半径,3.20 单模光纤模式特性,单模光纤的模式特性模场半径与纤芯半径的关系,3.20 单模光纤模式特性,单模光纤的模式特性模场分布,3.20 单模光纤模式特性,1.某种阶跃折射率分布的光纤，相对折射率差为0.01，纤芯折射率为1.5，纤芯直径a为50m，
15、工作波长在1.31m处 （1）求其是单模光纤还是多模光纤？ （2）若为多模光纤光纤中传输的模式数量M是多少？ （3）如欲制成单模光纤，在保持、n1不变的前提下，纤芯直径应是多少？ （4）若2a=10m，则在保持、n1不变的前提下，入射光波长应为多少？ 2. 在阶跃型光纤中，已知纤芯半径a=4m，纤芯折射率n1=1.49，相对折射率差=0.0024，工作波长=1.31m，并且已求出导波归一化径向相位常数u=1.529。求： （1）归一化径向衰减常数w （2）轴向传输常数,习题,圆柱坐标系中的波动方程坐标变换,贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。利用柱坐标求解涉及圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来
