《1.3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 “杨辉三角”与二次项系数的性质,新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,(a+b)6,(a+b)n,表中的每一个数等于它肩上的两数的和,这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”,你发现了什么规律？,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我
2、国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,二项式系数的函数观点,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当n=6时，其图象是7个孤立点,定义域0,1,2, ,n,二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,
3、图象的对称轴：,2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，,课堂练习,1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ),A 第项 B 第项 C 第项 D 第项,则n=_,B,6,请问:一般地,当r满足什么范围时，后一项Cnk比前一项Cnk-1要大?,分析:以上问题即Cnk Cnk-1时，求k的范围?,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,先增后减,n是偶数时，中间的一项（第 项）的二项式系数
4、 取得最大值 ；,当n是奇数时，中间的两项 （第 项）的二项式 系数 和 相等，且同时取 得最大值。,1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .,2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126,C,4.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。,最大的系数呢？,课堂练习,3.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数,二项式系数的性质,（3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数
5、的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,赋值法,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 时，,（4）,当 时，,例1、证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,n-1,证明,令a=1,b=-1得,特例法 赋值法,例2、已知 的展开式中只 有第10项系数最大，求第五项。,依题意，n为偶数，且,解：,例3、已知(1+a)n展开式里，连续三项的系数比是 3：8：14，求展开式里系数最大的项。,答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a5,求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),求奇数(次)
6、项偶数(次)项系数的和,所以,（3）,求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值,求多项式的展开式中特定的项(系数),解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量,求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最 大的项，则有,由此确定r的取值
7、,练习 在 的展开式中，系数绝对值最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,三项式转化为二项式,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,_,解：,原式化为,其通项公式为,240,括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.,例8：已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。,解：,令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4 故T5 为常数项，且系数最大。,分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,（1） 二项式系数的三个性质:,（2） 数学思想：函数思想,二项式系数之和:,最 值:,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；,当n是奇数时，中间的两项 ， 相等， 且同时取得最大值。,增减性:,课堂小结,
