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1、1 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2 （一一）期望期望与方差与方差 1.1. 期望定义期望定义 离散型（求和）离散型（求和） 一维：一维： 1 ii i E Xx p 二维二维： 11 (, )(,) ijij ij E ZE g X Yg x yp 3 连续型（积分）连续型（积分） 一维一维： ( )E Xx f x dx 二维二维： (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 4 2.2.方差定义方差定义 2 2 D XE XE X 5 3 3. .期望期望与方差与方差的性质的性质 期望的性质期望的性质 (1) (1) ( )E
2、 aa ； (2) (2) (E aX)aE X ； (3) (3) ()E XYE XE Y； (4(4) ) E aXbaEXb (5) (5) ,X Y相互独立相互独立 ()E XYE XE Y ； ； 6 方差方差的性质的性质 1 1 0D a 2 2 2 ()D aXa D X 3 3 ()D XaD X 4 4 2cov,D XYD XD YX Y 5 5 若若,X Y相互独立，相互独立， D XYD XD Y 6 6 22 E XEXD X 7 4.4.常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差 1.1.01 分布分布 E Xp (1)D Xpp 2.2.二项分布二项分布： ,XB
3、 n p E Xnp (1)D Xnpp. . 3.3.泊松分布泊松分布: : ( )XP ()E X D X 8 4.4.几何分布几何分布: : XG p 1 E X p 2 (1)p D X p 5.5.均匀分布均匀分布: : ,XU a b 2 ab E X 2 12 ba D X 9 6.6.指指数分布数分布: : XE 1 E X 2 1 D X 7.7.正态分布正态分布 2 ( ,)XN E X 2 D X 10 ( (三三) )协方差协方差 1.1.定义定义: : (, )Cov X YEXE XYE Y 2.2.计算：计算： (, )Cov X YE XYE X E Y (,
4、)Cov X YDXDY 11 3.3.性质性质 (1)(1)(, )( ,)Cov X YCov Y X (2)(2) 22 (,)Cov X XEXE XDX (3)(3)(,)(, )Cov aX bYabCov X Y (4)(4)(, )0Cov X a (5(5) ) 1212 (,)Cov aXbX cYdY 11122122 (,)(,)(,)(,)acCov X YadCov X YbcCov X YbdCov X Y 12 (7)(7)若若X和和Y相互独立，则相互独立，则,0Cov X Y （）. . 13 ( (四四) )相关系数相关系数 1.1.定义定义: : (,)
5、XY Cov X Y D XD Y 2.2.性质性质: : (a)(a)1 XY (b)(b)1 XY 存在存在, a b，使，使 1P YaXb， 当当0a 时，时，1 XY ；0a 时，时，1 XY . . 14 (c)(c)0 XY 称随机变量称随机变量,X Y不相关不相关. . ,X Y相互独立，则相互独立，则,X Y必不相关；必不相关； 若若,X Y不相关，则不相关，则,X Y不一定不一定独立独立( (二维正态二维正态 分布除外分布除外) ) 若若,X Y相关，则相关，则,X Y必不独立；必不独立； 15 ( (五五) )独立性与不相关问题独立性与不相关问题 16 ( (六六) )随
6、机变量的矩随机变量的矩 1.1.k阶原点矩：阶原点矩： k E X 2.2.k阶阶中心矩：中心矩： k EXE X 17 题型一题型一 期望与方差的计算期望与方差的计算 【例【例 4.4.2222】设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 1 ( )0.3 ( )0.7 () 2 x F xx ，其中，其中( )x 为为 标准正态的分布函数，则标准正态的分布函数，则EX （ ） （A A）0 0 （B B）0.3 （C C）0.7 （D D）1 1 18 【例【例】设两个随机变量设两个随机变量,X Y相互独立，且都相互独立，且都 服 从 均 值 为服 从 均 值 为 0 0, , 方 差
7、 为方 差 为 1 2 的 正 态 分 布的 正 态 分 布 , , 设设 ZXY （1 1）求求Z Z的概率密度的概率密度 Z fz (2)(2) 求求,EZ DZ 19 【例】随机变量【例】随机变量(, )X Y的联合概率密度为的联合概率密度为 ,fx y, ,已知数学期望已知数学期望 E XY存在存在 (1)(1)若随机变量若随机变量,X Y相互独立，且数学期望相互独立，且数学期望 ,EX EY都存在，证明都存在，证明 E XYE X E Y (2)(2) 若若 2 2,0,0 , 0, xy exy fx y 其其它它 ， 求 数， 求 数 学期望学期望 E XYY 20 【 例 】【
8、 例 】 设 二 维 随 机 变 量设 二 维 随 机 变 量(, )X Y在 区 域在 区 域 ,01,|Dx yxyx上服从均匀分布，上服从均匀分布， 求随机变量求随机变量21ZX的方差的方差()D Z. . 21 【 例【 例4.144.14 】 设设X的的 分 布 律 为分 布 律 为 1 2 ,0,1,2 3 k k P Xkk ，求，求期望与方期望与方 差差 ,E XD X. . 22 【例】【例】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 1 1 的指数分的指数分 布，则布，则 22 _ X E X e 23 【例】【例】 设随机变量设随机变量 0,1XN服从参数为服从参数为 1
9、 1 的指数分布，则的指数分布，则 2 _ X E Xe 24 【例】设随机变量【例】设随机变量 XP ， 2YP 且且 2 6E X , ,则则 2 _E Y 25 题型二题型二 协方差与相关系数协方差与相关系数 【例【例】随机变量随机变量 12 1 n XXXn ， ，独立同分独立同分 布，布，方差为方差为 2 0 , , 1 1 n i i YX n 则则( )( ) 26 (A(A) ) 2 1, Cov X Y n (B)(B) 2 1, Cov X Y (C)(C) 2 1 2n D XY n (D)(D) 2 1 1n D XY n 27 【 例 】 设 随 机 变 量【 例 】
10、 设 随 机 变 量 ,X Y的 概 率 密 度 为的 概 率 密 度 为 1,01 , 0, yxx fx y 其其它它 ，求，求 ,EX EY Cov X Y 28 【例例】随机变量随机变量 ,X Y分别服从正态分布，分别服从正态分布， 且且 2 1,3X， 2 0,4Y，且相关系数，且相关系数0.5 XY ， 令令 32 XY Z （1 1）求求 ,E ZD Z （2 2）求求,X Z的相关系数，别说明是否独立的相关系数，别说明是否独立 （3 3）求求Z的分布的分布 （4 4）随机变量）随机变量2XY 与与XY 的相关系数的相关系数 29 【例【例 4.124.12】设随机变量】设随机变
11、量 0,1 ,1,4XNYN， 且相关系数且相关系数1 XY ，则（，则（ ） （A A） 211P YX （B B） 211P YX （C C） 211P YX （D D） 211P YX 30 【例】将一枚硬币重复掷【例】将一枚硬币重复掷n次，以次，以X和和Y分别分别 表示正面向上和反面向上的次数，则表示正面向上和反面向上的次数，则X和和Y 的相关系数等于的相关系数等于( ( ) ) 1A 0B 1 2 C 1D 31 【例】设将一颗骰子重复抛掷【例】设将一颗骰子重复抛掷n次，随机变次，随机变 量量X表示点数小于表示点数小于 3 3 的次数，的次数，Y表示点数不表示点数不 小于小于 3 3 的次数的次数 （1 1）,X Y是否独立，请说明理由是否独立，请说明理由 （2 2）说明）说明XY 与与XY 不相关不相关 （3 3）求）求3XY 与与XY 的相关系数的相关系数 32 【例【例4.314.31】 33 题型三题型三
