《概率论与数理统计及其应用 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材 教学课件 ppt1 作者 李昌兴 第5讲 随机变量的概念与离散性随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计及其应用 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材 教学课件 ppt1 作者 李昌兴 第5讲 随机变量的概念与离散性随机变量（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、随机变量的概念,二、离散型随机变量,第5讲 随机变量的概念与离散型随机变量,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的推导和计算,就需将任意的随机事件数量化,当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时, 就建立起了随机变量的概念.,1. 随机变量的引入,一、随机变量的概念,S=红色、白色,非数量,将S 数量化,可采用下列方法,一、随机变量的概念,1. 随机变量的引入,例1 在一装有4个红球, 6个白球的袋中任摸一个小球,观察摸出小球的颜色.,1 R 0,X,1. 随机变量的引入,1 R 0,X,X (红色)=
2、1 X(白色)=0,(X=1) 表示摸出红色球,(X=0) 表示摸出白色球,随机事件,X的取值具有随机性，因此称之为随机变量.,一、随机变量的概念,例1 在一装有4个红球, 6个白球的袋中任摸一个小球,观察摸出小球的颜色.,1. 随机变量的引入,PX(e)=1=P摸出红色小球=2/5.,PX(e)=0=P摸出白色小球=3/5.,一、随机变量的概念,例1 在一装有4个红球, 6个白球的袋中任摸一个小球,观察摸出小球的颜色.,例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,S=1、2、3、4、5、6,样本点本身就是数量,且有,1. 随机变量的引入,一、随机变量的概念,1. 随机变量的引入,2. 随机变量的概
3、念,定义1 设E是随机试验,它的样本空间是S=e . 如果对于每一个eS有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.,简单地说：定义在样本空间上的单值函数称之为随机变量.,一、随机变量的概念,1. 随机变量的引入,定义1 设E是随机试验,它的样本空间是S=e . 如果对于每一个eS有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.,(1) 随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).
4、,说明:,一、随机变量的概念,2. 随机变量的概念,1. 随机变量的引入,定义1 设E是随机试验,它的样本空间是S=e . 如果对于每一个eS有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.,说明:,(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,一、随机变量的概念,2. 随机变量的概念,1. 随机变量的引入,定义1 设E是随机试验,它的样本空间是S=e . 如果对于每一个eS有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实
5、值函数X=X(e)称为随机变量.,说明:,(3) 随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.也就是说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,一、随机变量的概念,2. 随机变量的概念,例3 掷一枚硬币, 观察出现的面 , 共有两个结果:,若用X表示掷一枚硬币出现正面的次数, 则有,即 X (e) 是一个随机变量.,例4 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别 , 共有4个样本点:,若用X表示该家女孩子的个数时, 则有,可得随机变量 X(e),X(e) 的所有可能取值为: 0，1，2.,X(e) 的所有可能取值为:0，1，2，3
6、0.,X(e) 的所有可能取值为:1,2,3, .,X(e) 的所有可能取值为: 0, 5,1. 随机变量的引入,2. 随机变量的概念,3. 随机变量的分类,例1 例7,例8,随机变量所取的可能值是 有限多个或可列个, 叫做 离散型随机变量.,随机变量所取的可能值可 以连续地充满某个区间, 叫做连续型随机变量.,例9 随机变量X 为“灯泡的寿命” .则X的取值范围为,一、随机变量的概念,例10 随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a, b)内的任一值.,1. 随机变量的引入,2. 随机变量的概念,3. 随机变量的分类,例1 例7,例8,一、随机变量的概念,随机变量所取
7、的可能值可 以连续地充满某个区间, 叫做连续型随机变量.,一、随机变量的概念,二、离散型随机变量,第5讲 随机变量的概念与离散型随机变量,1. 离散型随机变量的分布律,3. 常见离散型随机变量的概率分布,2. 分布律的性质,二、离散型随机变量,1. 离散型随机变量的分布律,分布律常用表格形式表示：,如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。,续例5 设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个,以X表示取得白球的个数，试求随机变量X的分布率.,解 随机变量X 的所有可能取值为: 0， 1，2.,二、离散型随机变量,1. 离散型随机变量的分布律,一般情况
8、下求离散型随机变量的分布率步骤： (1) 写出随机变量的所有可能取值； (2) 计算随机变量每一个可能取值的概率； (3) 尽可能列出表格或者统一表达式. 一般要求,二、离散型随机变量,1. 离散型随机变量的分布律,2. 分布律的性质,(3) 事件组（X=xi) (i=1,2, ）是样本空间S 的一个划分。,解 由于,例11 离散型随机变量X 的分布律为 求a 的值.,因此由分步率的性质，,所以,解,例12 设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯, 每盏信号灯独立地以概率p禁止汽车通过. 令X表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求X 的概率分布与p=0.6时的分布 函数.,解,例12 设汽车在开
9、往甲地途中需经过4盏信号灯, 每盏信号灯独立地以概率p禁止汽车通过. 令X表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求X 的概率分布与p=0.6时的分布 函数.,当p=0.6时,例13 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.,P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次，第 k 次击中目标),解 如果第 k 次摧毁目标，那么意味着前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标. 因此所求得分布率,帕斯卡分布,二、离散型随机变量,1. 离散型
10、随机变量的分布律,3. 常见离散型随机变量的概率分布,2. 分布律的性质,(1) 0 1 分布,例14 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量X 服从(0-1)分布.,随机变量X 的分布率,例15 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0-1)分布.,凡试验只有两个结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格、新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,应用 场合,(2) 二项分布,将试验E 复进行n 次, 若各次试验的结果互不影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验
11、的结果, 则称这n 试验是相互独立的,或称为n 次重复独立试验.,(a) n重复独立试验,设E为一贝努里试验，将E在相同的条件下重复进行n次,每次试验中事件发生的可能性保持不变且为p. 把这n次独立重复试验看成一次试验，这个试验称为n重贝努里试验。,(b) 贝努里试验概型,(c) 二项分布的概念,定理1 在n重贝努里试验中,如果事件A在每次试验中发生的概率为p.那么事件A在n重贝努里试验中恰好发生k此的概率为,(2) 二项分布,01 分布是 n = 1 的二项分布.,(d) 二项分布的取值情况,设 即,由图表可见, 当k=2或3时， 分布取得最大值 此时的k称为最可能成功次 数。,由图表可见,
12、 当k=4时，分 布取得最大值,设 即，,(d) 二项分布的取值情况,(d) 二项分布的取值情况,若对X的一切可能取值 j,有 , 则称k为最可能出现的次数.,当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值。,若对X的一切可能取值 j,有 , 则称k为最可能出现的次数.,(d) 二项分布的取值情况,二项分布的图形,例16 独立射击5000次, 命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(
13、5000,0.001).,小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.因此决不要轻视小概率事件。,本例 启示,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的重要性.,由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.,同样, 人生中发生车祸、失恋、身患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而跳楼自杀、自缢身亡等等. 古人云：留得青山在，不怕没材烧。,例16 独立射击5000次, 命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.,如果射手在5000次射击中，命中目标
14、不足一次，根据实际推断原理，有理由认为该射手射 击的命中率达不到0.001.,(3) 泊松(Poisson)分布,如果随机变量X的分布率为 其中 是常数，则称X服从参数为 的泊松分布.,(a) 泊松分布的概念,例17 某商店出售某种商品根据经验，此商品的月销售量X服从参数为3的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率不脱销？,解 依题意商品的月销售量X的分布率,设月初库存M件，才能以99%的概率不脱销。于是,查附表，可知M最小应是8，即月初进货时要库存8件此种商品，才能以99%的概率不脱销,(b) 泊松分布的取值情况,(3) 泊松(Poisson)分布,(a) 泊松分布
15、的概念,(b) 泊松分布的取值情况,(3) 泊松(Poisson)分布,(a) 泊松分布的概念,若对X的一切可能取值 j,有 , 则称k为最可能出现的次数.,(b) 泊松分布的取值情况,(3) 泊松(Poisson)分布,(a) 泊松分布的概念,(c) 二项分布与泊松分布的关系,(b) 泊松分布的取值情况,(3) 泊松(Poisson)分布,(a) 泊松分布的概念,(c) 二项分布与泊松分布的关系,泊松定理 设XB(n, pn)， ，则对任意的k,泊松定理说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式,证,记 ，则,解 以“年”为单位来考虑.在一年的1月1日,保险公司 总收入为 元。,设X 为2500个投保人中在未来一年内死亡的人数,那么,(1)保险公司亏本的概率,例18（寿命保险问题）设某人寿保险公司的保险险种有2500人投保，在一年内,每个人死亡的概率为0.002,且每个人是否死亡是相互独立的,每个投保人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元的赔偿金.试求(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利 分别不少于10000元、20000元的概率,例18（寿命保险问题）设某人寿保险公司的保险险种有2500人投保，在一年内,每个人死亡的概率为0.002,
