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1、第八章 常微分方程,第一节 微分方程的概念,第二节 一阶微分方程,第三节 二阶微分方程,含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,微分方程,凡未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程,微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫微分方程的阶,未知函数多元函数的微分方程叫偏微分方程,代入微分方程中，使其成为恒等式的函数叫微分方程的解.,含任意常数的个数等于微分方程的阶数的解叫微分方程的通解,为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加 一定的条件，这些条件叫做初始条件,微分方程的解,给通解中任意常数以确定值的解叫微分方程的特解,示 例,验证 是一阶微分方程 的特解.,把 及 代入微分方程，得
2、,示 例,验证 是一阶微分方程 的通解.,把 及 代入微分方程，得,第八章 常微分方程,第一节 微分方程的概念,第二节 一阶微分方程,第三节 二阶微分方程,典型一阶微分方程的求解方法,可分离变量的微分方程和齐次方程,一阶线性微分方程,求微分方程 的通解.,对所给的方程两端积分，得,示 例,典型一阶微分方程的求解方法,可分离变量的微分方程和齐次方程,一阶线性微分方程,可分离变量的微分方程,求解方法：,（1）将方程分离变量得,（2）等式两端求积分，得通解,求微分方程 的通解.,等式两端求积分，得,示 例,把方程分离变量为,齐次方程,求解方法：,两端求导得,原方程化为可分离变量微分方程,求微分方程
3、的通解.,示 例,把方程变为,分离变量为,等式两端积分得,示 例,典型一阶微分方程的求解方法,可分离变量的微分方程和齐次方程,一阶线性微分方程,自由项,一阶线性微分方程,求解方法：,一阶线性微分方程,求一阶非齐次线性方程的通解,一阶线性微分方程通解,把假定解代入方程得,求微分方程 的通解.,示 例,先求 的通解,分离变量得,两端积分得,设 为原方程的通解，代入原方程得,示 例,故得所求方程的通解为,示 例,通解为,求微分方程 满足条件 的特解.,将 代入得,示 例,所以方程的特解为,第八章 常微分方程,第一节 微分方程的概念,第二节 一阶微分方程,第三节 二阶微分方程,可降阶的二阶微分方程,示
4、 例,求微分方程 的通解.,对所给的方程接连积分两次，得,可降阶的二阶微分方程,示 例,求微分方程 的通解.,代入方程得,分离变量得,示 例,两端积分得,两端再积分得通解,可降阶的二阶微分方程,示 例,求微分方程 的通解.,代入方程得,分离变量得,示 例,两端积分得,再分离变量得,示 例,两端再积分得通解,或,二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性微分方程解的性质,定理一,定理二,二阶常系数线性微分方程解的性质,定理三,特征根与特征方程,特征方程,特征根,二阶常系数线性微分方程的解,示 例,求微分方程 的通解.,故所求通解为,所给微分方程的特征方程为,二阶常系数非齐次线性微分方程,求解步骤：,求出对应的齐次方程的通解,求出非齐次方程的一个特解,所求方程的通解为,二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,示 例,求微分方程 的通解.,其对应的齐次方程的特征方程为：,特征根为,所以其对应的齐次方程的通解为,示 例,所求方程为方程 当 时的情形,由于 与 都不相等，故取,因此设原方程的特解为,代入原方程得,整理得,示 例,所求方程的通解为,
