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1、B样条曲线样条曲线 B样条提出背景 仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求 约束条件增多，约束条件增多，Bzier造型的缺陷：造型的缺陷： 次数增加次数增加 形状复杂形状复杂 算法不稳定算法不稳定 不能局部控制不能局部控制 拼接的话连续性容易产生问题拼接的话连续性容易产生问题 分段的多项式函数分段的多项式函数 B样条的发展 1949年，年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的最早提出定义在均匀节点向量上的B样样 条函数理论。条函数理论。 1960年，年，de Boor开始研究用开始研究用B样条做几何表示。之后它与样条做几何表示。之后它与 Ma
2、nsfield, Cox分别独立发现了分别独立发现了B样条的递归算法。样条的递归算法。 1974年，年，Gordon与与Riesenfeld将将B样条函数推广到矢值形式，样条函数推广到矢值形式， 得到了得到了B样条函数。样条函数。 B样条函数样条函数(basis) 给出了给出了B样条基函数的递归算法样条基函数的递归算法 从从B样条函数到样条函数到B样条曲线样条曲线 样条函数的定义 区间区间 的一个分割的一个分割 定义于分割上的函数定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：满足两条件： 在在 上，上， g(x)是是x的的 k次多项式次多项式 g(x)在区间在区间 上有直到上有直到 k-1阶的连续导
3、数阶的连续导数 01 : n a xxxb 1 , ii x x 1 ( ) , k g x C ab 节点节点 k次样条函数次样条函数 节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高连续阶最高 样条曲线 样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲 线线 优点：局部性优点：局部性+。 B样条曲线的定义 1. B B样条曲线定义样条曲线定义 设有控制顶点设有控制顶点P0,P1,Pn,则则k阶阶(k-1次次)B样条曲线的数学表达式为样条曲线的数学表达式为: 其中：其中：Ni,k(t)是是k-
4、1次次B样条曲线的基函数；样条曲线的基函数； 是单调不减的节点分割。是单调不减的节点分割。 B样条曲线的定义 2. B B样条基函数的递推定义样条基函数的递推定义( (de Boor-Coxde Boor-Cox公式公式) ) 规定：规定：0/0=0 B样条基函数的性质 1. 正性与局部支撑性正性与局部支撑性 ti , ti+k为为Ni,k(t)的支撑区间的支撑区间 B样条基函数的性质 2. 权性权性( (归一性归一性) ) 3.3.线性无关性线性无关性 B样条基函数的性质 4. .微分微分-差分公式差分公式 5.r.r阶导数阶导数 r阶导数为前一次数的两个基函数的阶导数为前一次数的两个基函数
5、的r阶导数的组合阶导数的组合 导数为前一次数的两个基函数的线性组合导数为前一次数的两个基函数的线性组合 B样条基函数的本质 每个基函数都是一个分段多项式每个基函数都是一个分段多项式 控制多边形的顶点为控制多边形的顶点为Pi(i=0,1,n),阶数为阶数为k(次数为次数为k-1)，则节点矢量，则节点矢量 是是T=t0,t1,tn+k。 1. 1. 均匀均匀B B样条曲线样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 i=ti+1-ti=常数常数0(i=0,1,n+k-1)。例如例如: :T= =(0,1,2,3,4,5,
6、6,7,8)(0,1,2,3,4,5,6,7,8) 图3.1.23 三次均匀的B样条曲线 均匀均匀B样条曲线没有保留样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质曲线端点的几何性质 B样条曲线的类型 2 . .准均匀准均匀B B样条曲线样条曲线 两端节点具有重数两端节点具有重数k，内部节点为均匀单节点。，内部节点为均匀单节点。 例如例如: :T=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7)=(0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,7,7) 图3.1.24 准均匀三次B样条曲线 准均匀准均匀B B样条曲线保留了样条曲线保留了BezierBezier曲线端点的几何性质曲线端点的几何性质 B
7、样条曲线的类型 3. 非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线 任意分布的节点矢量任意分布的节点矢量 T=t0,t1,tn+k，只要在数学上成立（节点序，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度，内节点重复度k-1-1）都可选取。）都可选取。 例如例如: :T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)=(0,0,2,2,3,5,8,11,16) B样条曲线的类型 B样条曲线的性质 控制顶点是唯一一组控制顶点是唯一一组 1. 表示唯一性：表示唯一性： 给定节点向量、给定控制顶点的给定节点向量、给定控制顶点的k阶阶B B样条曲线表示唯一。样条曲线表示唯
8、一。 B样条曲线的性质 2. 凸包性：凸包性： k 阶阶P(t)在区间在区间(ti, ti+1) , k-1=i=n 上的部分位于上的部分位于k个点个点Pi-k+1,Pi的的 凸包内，整条曲线则位于各凸包凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。的并集之内。 每每3 3个控制顶点构成一个凸包个控制顶点构成一个凸包 3. 局部性局部性 k 阶阶B样条曲线上参数为样条曲线上参数为 的一点的一点P(t)至多与至多与k个控制顶点个控制顶点 Pj ( j=i-k+1,i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控个控 制顶点制顶点Pi至多影响到定义在区间至多
9、影响到定义在区间(ti, ti+k) 上那部分曲线的形状上那部分曲线的形状, 对曲对曲 线的其余部分不发生影响。线的其余部分不发生影响。 图 8 -1 6 B 样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性 P0 P1 P2 P3 P 4 P5 P6 P7 P4 P 4 一段区间由一段区间由k个连续控制点参与；个连续控制点参与； 一个控制点参与一个控制点参与K段段(ti, ti+k)曲线构造。曲线构造。 B样条曲线的性质 B样条曲线的性质 4. 几何不变性和仿射不变性几何不变性和仿射不变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。曲线作仿射变换，样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。曲线作仿射变
10、换， 只须把其控制多边形作此仿射变换。只须把其控制多边形作此仿射变换。 5.5.B B网逼近性质网逼近性质 B网大致反映了网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计样条曲线的形状，这有利于人机交互设计. 6 6. .变差缩减性变差缩减性 设平面内设平面内 n+1 个控制顶点个控制顶点 构成构成B样条曲线样条曲线 P(t) 的特征多边形。在的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。多边形的交点个数。 B样条曲线的性质 7. 连续阶性连续阶性： 曲线在重数为曲线在重数为 m 的节
11、点处，连续阶能达到的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 整条曲线的连续阶能达到整条曲线的连续阶能达到次数次数-重数的最大值重数的最大值 连续阶连续阶=次数次数-重数重数 B样条曲线的性质 8. 退化性退化性： 节点矢量中两端节点具有重数节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为，所有内节点重数为k-1，这样的节，这样的节 点矢量定义了分段的点矢量定义了分段的Bernstein基。基。 B样条曲线用分段样条曲线用分段Bezier曲线表示后，曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该
12、曲线段的形状。例例 如如: :T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2) B样条是样条是Bzier的推广的推广 图3.1.25 三次分段Bezier曲线 B样条曲线的几何生成 割角公式：割角公式： )()()( 1 , 1, 1 1 , tNtNtN kjkjkjkjkj 节点向量中插入一点节点向量中插入一点t 节点的插入导致某个基函数细分节点的插入导致某个基函数细分 原始基函数图例原始基函数图例 节点插入后细分的基函数图例节点插入后细分的基函数图例 B样条曲线的局部加细 节点插入公式：节点插入公式： 用用B B样条基函数代替样条基函数代
13、替BernsteinBernstein基函数基函数： 1）逼近特征多边形的精度更高。）逼近特征多边形的精度更高。 2）多边形的边数与基函数的次数无关。）多边形的边数与基函数的次数无关。 3）具有局部修改性。）具有局部修改性。 4） 灵活造型灵活造型 B样条曲线的优点 用用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况。 对于对于4 4阶（阶（3 3次）的次）的B B样条曲线样条曲线P( (t) )若要在其中得到一条直线段，只若要在其中得到一条直线段，只 要要Pi, Pi+1, Pi+2, Pi+3 4 4点位于一条直线上。点位于一条直线上。 为了使为了使P( (t) )能过能过P( (i) )点，只要使点，只要使Pi, Pi+1, Pi+2 重合。重合。尖点也可通过三尖点也可通过三 重节点的方法得到。重节点的方法得到。 B样条曲线造型灵活性 谢谢！
