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1、固 体 理 论固 体 理 论 电子声子相互作用电子声子相互作用 主讲翦知渐 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像 第五章电子声子相互作用第五章电子声子相互作用 电子与晶格的基本相互作用形式 1 物理图像 电子与晶格的基本相互作用形式 1 物理图像 2 电子与声频支声子的相互作用子与声频支声子的相作用 3 声子的自能修正 4 电子与光频支声子的相互作用 5 有效电子-声子相互作用 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像 1 物理图像 返回 能带论：考虑晶格周期性势场对电子的作用（即原子或离子 位置固定的情形）周期性势场对电子运动的调制 考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位
2、置，引起势能的 改变。能带电子将受到晶格位移所产生附加势场附加势场的作用，这 就是电子和晶格振动的相互作用 电子-声子相互作用，可看做准粒子的碰撞 其特点：碰撞过程中粒子数不守恒；存在虚声子过程 就是电子和晶格振动的相互作用 其特点：碰撞过程中粒子数不守恒；存在虚声子过程 在能带极值附近，电子的能量为： 22 k? 导带22 c 2 k k m =+ ? 导带 c 其中 是带边能量可理解为能带电子 价带 c 其中c是带边能量，可理解为能带电子 的势能，是晶格周期势对电子的作用 由于纵声学模（声子）伴随晶体体积和晶格常由于纵声学模（LA声子）伴随晶体体积和晶格常 数的局域变化，因此，c将发生移动
3、 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像 而电子-声子相互作用的形变势可写为 返回 其中(r)为（相对）形变量c 为形变势常数由实验确定其中(r)为（相对）形变量，c1为形变势常数，由实验确定 单位体积形变后膨胀为 所以体积的相对变化为 根据声子声学模的长波方法，有 所以对于长波LA声子体积相对变化为所以，对于长波LA声子，体积相对变化为 其中，只有纵波对体积变化有贡献： eqq 而对横波指标 的求和为 0 故电子-声子互作用的二次量子化形式可表示为单体势对态向 量的均 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像返回 量的平均： 代表湮灭一个k电子 和一个q声子，产生 一个k+
4、q电子 代表湮灭一个k电子， 产生一个q声子和一 个k- -q电子q 当k 在费米球外，k - q在费米球内时，也可代表如下过程 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像返回 箭头向上代表电子，箭头向下代表空穴 这几个过程是电子-声子相互作用的一级微扰过程，可用于解释 晶体的输运特性 箭头向上代表电子，箭头向下代表空穴 电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成 二级微扰的物理过程： 固 体 理 论 - 电子声子相互作用- 物理图像返回 （ ）先发射然后吸收 声子物理实质是电子带着晶格（a）先发射，然后吸收q 声子物理实质是电子带着晶格 畸变运动，对电子自能产生修正 （b）产生电
5、子 空穴对然后再复合放出声子代表电子（b）产生电子-空穴对，然后再复合放出声子代表电子 系统对声子扰动场的屏蔽，它会改变离子间的互作用势，从 而对声子频率产生修正 （c）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为 电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用 2 电子与声频支声子的相互作用 返回 形变势模型是电子与声子互作用的连续模型，更严格的推导 应当从晶格模型出发。对于简单晶格只有声频支振动 晶格模型： 设l 格点离子与 j 电子 (rj) 之间的相互作用势能为 V( rj- l )，所以无晶格振动无晶格振动时
6、，电子-离子相互作用为 0 ()HVl llR 设晶格振动位移为ul ( t )，此时电子-离子互作用为 0 , () eijlii j li HVl= rllRa 故电子-声子相互作用为：故电子-声子相互作用为： 其中定义了电-声互作用的单体势 若采用布洛赫函数 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 作为电子体系二次量子化态向量的基函数（非平面波），则态 向量为 其中Ck+，Ck是能带电子的产生湮灭算符，满足对易关系： 向量为 其中Ck，Ck 是能带电子的产生湮灭算符，满足对易关系： 则电声互作用可表示为 进一步，可利用 其中是偏振方向的单位矢量 则电声互
7、作用的二次量子化形式可化为 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 其中N为元胞数，M为原子质量，s为格波的偏振指标 现在考虑布洛赫函数的积分现在考虑布洛赫函数的积分 其中作了代换 r r + l 并且利用了布洛赫函数的性质：u ( r + l ) = u ( r )并且利用了布洛赫函数的性质：uk ( r + l ) = uk ( r ) 作离子势的傅里叶展开 可得可得 因此有 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取 得到晶格模型中电子-声子互作用的哈密顿 其中利用了其中利用了 i |
8、e = k r k K 为倒格矢Kn 为倒格矢 所以可得到波矢条件 波矢条件 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 实际上就是动量守恒条件，但与通常的动量守恒有区别，其中 存在选取Kn 的不确定性 怎样选取K ？当采用简约区方案时K 的选取应保证散射后的怎样选取Kn ？当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射后的 电子态 k 也在第一布里渊区内，k = k + q + Kn 因为 k + q可能超出BZ因为 k + q可能超出BZ 1 选取Kn 的讨论 (1) k + q 位于BZ内(1) k q 位于BZ内 取Kn= 0，则有k = k + q 此时总波矢
9、守恒，称为正常散射或简称N过程 长波近似下，有LA与TA声子： eqs平行或垂直于 q 而只有LA声子对N过程有贡献，因为因子eqs q的存在使得横 波声子的贡献为0波声子的贡献为0 此时 其中 对于金属，可采用集体坐标表示 电子离子作用势采用库仑势 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 电子离子互作用势采用库仑势 利用声子简正坐标 和电子集体坐标 此式可用于计算电声作用 可得 此式可用于计算电声作用 对声子频率的修正 (2) k + q 超出BZ BZ边界 (2) k + q 超出BZ k + q 一般在邻近布里渊区内， 此时需要取Kn 0，使得k = k
10、 + 此时需要取 n 使得 q + Kn 回到BZ内，因此总波矢 守恒条件相差一个倒格矢 因eqT Kn 0，此时TA（横波） 声子也有贡献 由于从k到k为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角 度偏转故称的过程为倒逆过程或 过程 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用返回 度偏转，故称Kn 0的过程为倒逆过程或U过程 注意到，采用BZ并未改变物理实质 从下图可以看出速度 (k) 与(k + q) 是相同的从下图可以看出，速度v (k) 与 v (k + q) 是相同的 U过程主要在高温q较大时存在，对金属的高温特性有重要影响程要在高q较大时存在对属的高特性有
11、要影响 2 电子-声子互作用过程的守恒定律 (1) 准动量守恒：k = (k + q + Kn)( )(q n) 若忽略晶格周期性，则相当于晶格常数 a 0，因此倒格矢 b 这是由于晶格结构的周期性和不连续性形成的 ，BZ趋于无穷大 自然 k + q 不会超出BZ，所以此时 动量严格守恒：Kn = 0 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与声频支声子的相互作用 (2) 能量守恒：对于实过程（可观测的）能量是守恒的 返回 电声系统从初态 | i 跃迁到终态 |f ,其几率为（含时微扰论） 其中 什么样的过程是可观测的？只有能够确定电子的初终态能量变化 E=|k k|时，这一跃迁才是可能
12、的，即所谓实过程按照测 其中 E |k k|时，这跃迁才是可能的，即所谓实过程按照测 不准关系应要求 t ?/E ，而此时跃迁几率可以写成 函数 t 最大为弛豫时间 （相继两次散射的平均间隔时间），所以当 ?/E 时才是实过程。从几率的从几率的函数表达式可得能量守恒函数表达式可得能量守恒 ?/E 时才是实过程。从几率的从几率的函数表达式可得能量守恒函数表达式可得能量守恒 这个条件对N过程与U过程一样，因为在同一个能带中有 ?对于虚过程（不可观测的或 t 很小），则能量可能不守恒能量可能不守恒 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 声子的自能修正 3 声子的自能修正 返回 考虑单价金属设 个
13、离子组成简单晶格浸没在均匀电子气中 电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势， 从而对声子频率产生修正 考虑单价金属，设N个离子组成简单晶格浸没在均匀电子气中 与电子集体振荡相似，无微扰的声子振动频率在长波范围内， 可用离子的等离子体集体振荡频率表示可用离子的等离子体集体振荡频率表示 设晶体取单位体积，为元胞体积，则N = -1 LA声子的哈密顿量为 上节得到了集体坐标表示的电子与声子互作用为 其中 上节得到了集体坐标表示的电子与声子互作用为 总哈密顿为 后两项与声子无关 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 声子的自能修正 根据海森堡方程与对易关系 返回 所以找到 q与 Qq的
14、关系，即可求出频率修正 可得运动方程 晶格振动（用 Qq描述）必然产生离子密度的起伏（ 用qi的傅 里叶分量描述），这个起伏的效果相当于对电子气体加上一 所以找到 q 与 Qq 的关系即可求出频率修正 个外扰动场，扰动导致电子气体的响应运动，从而引起电子 密度起伏（用 q描述） 1 离子密度起伏 qi 晶格振动产生极化 而离子密度起伏起伏为 展开为傅里叶级数 所以有 此处i 是极化电荷密 度，而总电荷密度为0 所以有 2q与 qi的关系 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 声子的自能修正返回 由于离子运动比电子运动慢得多，因此，可将离子运动产生的 qi 当作“静态试探电荷”，用线性响应理
15、论处理 的傅叶分量为 (r) 是电子密度起伏 而 D，E 的傅里叶分量为 ( )( )( )( )( )( )( ) i qq ee = q riq r D rD qE rE qD qq E q， qq 由以上方程可以求出 即 1/2 2 2 4 i() qq Ne M = eq 2 qqqqq QQM += ? 即 因此，运动方程的右半边为 2 2 () 41( )1( )N eq 1/2 ()() i qqq N iQ M = eq 2 () qq Mq q 2 2 2 () 41( )1( ) ( )( ) q qqqqq Ne MQQ Mq = eq qq qq 固 体 理 论 - 电
16、子声子相互作用 - 声子的自能修正 所以，考虑了电子气的屏蔽之后，LA声子的运动方程为 返回 而声子频率为 如果取托马斯-费米介电函数 声子频率为 则长波范围内则长波范围内 故可得到长波LA声子色散关系： 其中k /是费米速度 这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式 其中vF= kF/m 是费米速度 固 体 理 论 - 电子声子相互作用 - 电子与光频支声子的相互作用 4 电子与光频支声子的相互作用 返回 离子晶体中的光频支声子，其纵振动会产生极化电场 极化电场使得LO声子频率高于TO声子 极化电场将与离体中的传导电产生的耦合作用极化电场还将与离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用， 耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得
