高一数学,集合及表示方法

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1、人教版高一数学上学期 第一章第1.1节 集合,主讲：教师 邹老师,1.集合：由一些确定的、互异的对象构成的一个整体就叫做集合。简称集。 2.元素：集合里的各个对象叫做这个集合的元素。 3.元素的三个属性：确定性、互异性、无序性（任意性也是元素具有的一个性质，但一般讲以上的三个属性）.,集合的有关概念：,2.对集合中元素三个特性的认识 (1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合. (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给

2、定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如方程(x1)20的解构成的集合为1，而不能记为1,1.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素. (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合a，b，c与b，a，c是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.,【注意】 集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.,2.元素与集合的关系,a是集合A的元素,aA,a不是集合A的元素,a A,4.有限集：含有有限个元素的集合。 5.无限集：含有无限个元素的集合。 6.空集：不含有任何元素的集合

3、。（即元素个数为0，是有限集）。 7.单元素集：仅含有一个元素的集合。 8.点集：集合中的元素全部由点组成。 9.数集：集合中的元素全部由数组成。 10.解集：由方程或方程组、不等式或不等式组的解作为元素构成的集合。,11.集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A、B、C、D、表示集合。 如A=-1，1，0，34、B=斜三角形。 12.元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a、b、c、d、表示元素。 13.空集的符号表示：或 。特别注意的是 不是空集，而是一个单元素集合。 14.属于符号： 如-1 A、1 A、34 A 15.不属于符号： 如2 A、1.5 A,3.常用数集及表示符号,4.集合的表

4、示方法,一一列举,21.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 22.列举法有三种形式： 是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合可表示为0，2，-3，5； 是有限集但元素个数较多，如由从50到100的所有整数组成的集合可表示为50，51，52，53，98，99，100； 是无限集且元素离散，如由所有的正偶数组成的集合可表示为2，4，6，8，,重难点讲解,23.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 24.描述法有两种表述形式： 格式：元素代表|元素属性1，元素属性2， 数式形式 如由不等式x-32的所有解组成的集合，可表

5、示为 xx-32；由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为 （x，y） y=x+1 。 语言形式 如由所有直角三角形组成的集合，可表示为直角三角形；由所有小于6的正整数组成的集合，可表示为 小于6的正整数,重难点讲解,下面集合里的元素是什么？,1.大于3小于11的偶数（描述法） 答案：2、4、6、8、10。用列举法可以表示为2，4，6，8，10。 2.平方后等于1的数（描述法） 答案：-1、1。用列举法表示1，-1。 3.中国古代的四大发明（描述法） 答案：活字印刷、造纸、指南针、火药。用列举法可以表示为活字印刷，造纸，指南针，火药。,典型例题分析,用描述法写出集合如能化简并化简为

6、列举法的形式,4.由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的一切自然数。 答：由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的自然数 =1，3，6，13，31，16，61，36，63，136，361，613，316，163，631。 5.直角坐标系第二象限内所有的点的坐标。 答：(x,y)x0,典型例题分析,1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？ 【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都不能构成集合.,

7、2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？ 【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.,集合中元素的特性,已知集合A1,0，a，若a2A，求实数a的值.,【思路点拨】,如果令a2=1，0或a,解方程求a,检验得x值,【解析】 (1)若a21，则a1， 当a1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当a1时，集合A中有三个元素1,0，1，符合. (2)若a20，则a0， 此时集合A中有两个相同元素0，舍去. (3)若a2a，则a0或1，不符合集合元

8、素的互异性，都舍去. 综上可知：a1.,根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.,1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)a，b，c，d与d，c，b，a是两个不同的集合； (2)集合 中有5个元素； (3)0与1之间的全体无理数构成一个集合； (4)集合A(1，3)与B(3,1)是同一集合.,【解析】 (1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺 序，只要是相同几个元素即可，故a，b，c，d与d，c，b，a是两个相同 的集合. (

9、2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 0.50，因此，此种表 示不能构成集合.要想表示集合，应写作 ，含有4个元素. (3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集. (4)不正确.A(1，3)表示的是由点(1，3)组成的单元素点集，B( 3,1)表示的是由点(3,1)组成的单元素点集，而(1，3)和(3,1)是不同 的两个点，因此A与B是不同的集合.,元素与集合的关系,设集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若aA， bB，试判断ab与A，B的关系. 【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从 而ab是奇数. 【解析】 aA，a2k1(k1Z)

10、. bB，b2k21(k2Z). ab2(k1k2)1. 又k1k2Z， abB，从而ab A.,判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.,2.所给下列关系正确的个数是( ) R； Q；0N；|4| N. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 是实数，是无理数， 正确，N表示正整数集，而0不是正整数； |4|是正整数，错误. 【答案】 B,集合的表示方法,用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2y24x6y130的解集； (3)不等式

11、x23的解的集合； (4)二次函数yx21图象上所有点组成的集合. 【思路点拨】 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个.,【解析】 (1)比4大2的数显然是6，故可表示为6. (2)方程x2y24x6y130可化为 (x2)2(y3)20 ，方程的解集为(2，3). (3)由x23，得x5. 故不等式的解集为x|x5. (4)“二次函数yx21的图象上的点”用描述法表示为 (x，y)|yx21.,(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存 在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：元素之间用 “，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序. (

12、2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举 出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.,3.用适当的方法表示下列集合 (1)二元二次方程组 的集合； (2)大于4的全体奇数组成的集合； (3)A(x，y)|xy3，xN，yN； (4)一次函数y2x1图象上所有点组成的集合. 【解析】 (1)列举法：(0,0)，(1,1)； (2)描述法：x|x2k1，k2，kN； (3)列举法：因为xN，yN，xy3， 所以 所以A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)； (4)描述法：(x，y)|y2x1.,下列说法： 集合xN|x3x用列举法表示为1,0,

13、1； 实数集可以表示为x|x为所有实数或R； 方程组 的解集为x1，y2. 其中正确的有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【错解】 A 【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号“x|x的属性”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.,【正解】 由x3x，即x(x21)0，得x0或x1或x1，因为1N，故集合xN|x3x用列举法表示应为0,1. 集合表示中的符号“ ”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为x|x为实数或R. 方程组 的解是有序实数对， 而集合x1，y2表示两个方程的解集， 正确

14、的表示应为(1,2)或 【答案】 D,2.已知Ax|33x0，则下列各式正确的是( ) A.3A B.1A C.0A D.1 A 【解析】 集合A表示不等式33x0的解集.显然3,1不满足不等式，而0， 1满足不等式，故选C. 【答案】 C 3.已知集合A1，a2，实数a不能取的值的集合是 . 【解析】 由互异性知a21，即a1， 故实数a不能取的值的集合是1，1. 【答案】 1，1,4.以方程x22x30和方程x2x20的解为元素的集合中共有多少个元素？ 【解析】 方程x22x30的解是 x11，x23， 方程x2x20的解是 x31，x42， 以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1,2,3，共有3个元素.,典型例题分析,6.写出方程组 的解集。,答：(x,y,z) =(1,3,2),