三角模糊数及其应用

第第 1 章 抽样调查数据处理方法及其应用章 抽样调查数据处理方法及其应用 1.3 三角模糊数及其应用三角模糊数及其应用 1.3.1 三角模糊数的概念三角模糊数的概念 若模糊数a ~ 可由 ),,( UML aaa 决定，) 10 UML aaa，且隶属函数（或特 征函数）为：                   U UM MU U ML LM L L a ax axa aa xa axa aa ax ax x 0 0 )(~ 则称a ~ 为规范的三角模糊数，记 ),,( ~UML aaaa  ，当 UML aaa时，a ~ 是一个 精确数 三角模糊数的分布 （特征函数或隶属函数） 如图 1-3-1 所示 在方案评价中， L a 是（被测试者）最保守（悲观）的估计值（三角模糊数的下界）， M a是最可能的估计 值， U a是最乐观的评价值（三角模糊数的上界） MULM aaaaα，β为模糊度若α，β1 则模糊度过大；一般取 1/2≤α，β≤1 较合适 1.3.2 三角模糊数的运算性质三角模糊数的运算性质 设 ),,( ~UML aaaa  和 ),,( ~ UML bbbb  为两个三角模糊数，则其运算法则如下： （1）加法： ),,( ~ ~UUMMLL babababa （1-3-1） （2） 倒数： ) 1 , 1 , 1 ( ~ 1 UML aaaa  （1-3-2） （3） 三角模糊数a ~ 的期望值[5]： 102/ ])1[() ~ ( UML aaaaE （1-3-3） λ值的选择取决于决策者的风险态度。

当 1λ0.5 时，称决策者持偏向乐观的态 度（也称决策者是追求风险的）；当λ=0.5 时，表示决策者持中立的态度（也表示决策 者是风险中立的）；当 0x1x3因此，x2为最佳候选人 1.3.7 三角模糊数群体多属性决策问题的群体理想解算法（二） 1、三角模糊数正群体理想方案 三角模糊数群体多属性决策问题的群体理想解算法（二） 1、三角模糊数正群体理想方案 称向量 TK jjjj aaaa) ~ ,, ~ , ~ ( ~ 21   （j=1，2，…，n）为对应于评价指标 j u 的三角模糊 数正群体理想方案其中， 效益型： ])(max,)(max,)(max[),,( ~ 111 kU ijkij mi kM ijkij mi kL ijkij mi kU j kM j kL j k j bebebeaaaa  （1-3-62） 成本型： ])(min,)(min,)(min[),,( ~ 111 kU ijkij mi kM ijkij mi kL ijkij mi kU j kM j kL j k j bebebeaaaa  （1-3-63） 2、三角模糊数负群体理想方案2、三角模糊数负群体理想方案 称向量 TK jjjj cccc) ~ ,, ~ , ~ ( ~ 21   为对应于评价指标 j u （j=1，2，…，n）的三角模糊 数负群体理想方案。

其中 效益型： ])(min,)(min,)(min[),,( ~ 111 kU ijkij mi kM ijkij mi kL ijkij mi kU j kM j kL j k j bebebecccc   （1-3-64） 成本型： ])(max,)(max,)(max[),,( ~ 111 kU ijkij mi kM ijkij mi kL ijkij mi kU j kM j kL j k j bebebecccc   （1-3-65） 针对每个单一评价指标 j u ，为采用理想点法将评价者个体判断集结成评价者群体 判断，并在集结过程中考虑评价者个体的综合重要性程度，引入如下两个距离，即备选 方案 Xi在评价指标 j u 下的所有 K 个评价者个体评价值构成的加权评价向量： ] ~ )(,, ~ )(, ~ )([ ~ 2 2 1 1 K ijKijijijijijij bebebeb （1-3-66） 其中， ),,( ~ kU ij kM ij kL ij k ij bbbb k=1，2，…，K 到三角模糊数正群体理想方案  j a ~ 和三角模糊数负群体理想方案  j c ~ 的欧氏距离  ij s 与  ij s 。

3、备选方案、备选方案 i X 在评价指标在评价指标 j u 下的距正理想方案的欧氏距离下的距正理想方案的欧氏距离  ij s 22221 )()()(   K ijijijij ddds （1-3-67） 其中， 2 1 222 )])()()(( 3 1 [ kU j kU ijk k ij kM j kM ijk k ij kL j kL ijk k ij k ij areareared   （1-3-68） 4、备选方案4、备选方案 i x在评价指标 在评价指标 j u 下的距负理想方案的欧氏距离下的距负理想方案的欧氏距离  ij s 22221 )()()(   K ijijijij ddds （1-3-69） 其中， 2 1 222 )])()()(( 3 1 [ kU j kU ijk k ij kM j kM ijk k ij kL j kL ijk k ij k ij crecrecred   （1-3-70） 5、 综合评价综合评价ij t     ijij ij ij ss s t （1-3-71） tij表示评价者群体 E 对于方案 i x在指标 j u 下的综合评价，其值越大该方案越优。

6、构造决策矩阵构造决策矩阵 T              mnmm n n ttt ttt ttt T     21 22221 11211 （1-3-72） 考虑到指标权重 T n) ,,,( 21  的群体判断决策矩阵 T*              mnnmm nn nn ttt ttt ttt T        2211 2222211 1122111 * （1-3-73） 称 T 或 T*为群体判断决策矩阵，它反映了专家群体 E 对各方案在属性集 U 下的判 断 至此，原三角模糊数群体多属性决策问题已转化为一般多属性决策问题，可利用传 统理想点法进行求解，则记： 效益型： ijj mi j tm   1 * max ， 成本型： ijj mi j tm   1 * min （j=1， 2， …， n） （1-3-74） 效益型： ijj mi j tn   1 * min ， 成本型： ijj mi j tn   1 * max （j=1， 2， …， n） （1-3-75） 6、综合评价指数6、综合评价指数)( i xL（方案（方案 i x到理想方案的接近度） 到理想方案的接近度）     ii i i dd d xL)( i=1， 2， …， m（1-3-76） 其中，    n j jijji mtd 1 2*) ( （1-3-77）    n j jijji ntd 1 2*) ( （1-3-78） )( i xL称为评价者群体 E 对各个方案的群体多指标综合评价指数，显然，)( i xL取值 越大，则对应方案越优。

针对三角模糊数群体多属性决策问题提出的群体理想解算法， 是在专家个体多属性 决策矩阵的基础上找到专家群体关于各目标的理想解， 由此进行三角模糊数个体多属性 决策矩阵的集结，得到群体判断决策矩阵，从而转化为一般多属性决策问题，进一步求 得专家群体对各方案的评价排序，并选出最优或最满意的方案 算例分析算例分析[7][6] 对于上节的算例，在其计算的基础上， （1）对于评价属性 u1，根据表 1-3-11 和式（1-3-43）、式（1-3-44）可得加权矩阵：  ** j B （2）根据式（1-3-62）～式（1-3-65）得到对应于评价属性 u1的三角模糊数正群体 理想方案和三角模糊数负群体理想方案分别为： （3）根据加权矩阵 ** j B 和式式（1-3-67）～式（1-3-70）计算各方案到对应于属性 u1的三角模糊数正负群体理想方案的欧式距离  ij s 和  ij s 分别为： 2 11 100155 . 1  s 2 21 105717 . 1  s 2 31 108858. 1  s 2 11 103145 . 1  s 2 21 108800 . 1  s 2 31 103045. 1  s （4）由式（1-3-71）得 t11=0.5642，t21=0.3589，t31=0.5956 同理可得 t12=0.4520，t22=0.6426，t32=0.4668；t13=0.5931，t23=0.4943，t33=0.3884 因此，可得群体判断决策矩阵 T，并加权得到矩阵（这里假设决策者给出的属性权 重值为μ1=0.36，μ2=0.40，μ2=0.24）T* （5）由式（1-3-74）和式（1-3-75）得： （6）根据式（1-3-77）和式（1-3-78）得： （7）由式（1-3-76）得： 4991. 0)(4760 . 0 )(5353. 0)( 121 xLxLxL （8）根据 L(xi)的大小得 3 个候选人的排序为：x1x3x2。

因此，x1为最佳候选人 作业：作业： 1、应用三角模糊数评价决策方法对产品造型意象词汇进行选择 2、应用三角模糊数评价决策方法对机电产品（选电动车、电吹风、挖掘机、打印 机）艺术造型进行评价（评价指标参见《产品系统设计》P266、p239） 3、基于理想点的三角模糊数多指标决策法[6] 4、基于改进三角模糊数的网络安全风险评估方法[15] 5、基于三角模糊数的综合保障评价指标权重分析[16] 6、三角模糊数型多属性决策的灰色关联法[17] 7、基于一致性三角模糊数互补判断矩阵的专家方案优选[18] 8、一种基于三角模糊数多指标信息的聚类方法[20] 9、基于 TFN-AHP 综合评价模型的机器人设计选择[21] 参考文献：参考文献： [1] 宋久鹏，董大为，高国安. 基于层次分析法和灰色关联度的方案决策模型研究[J]. 西南交通大学学报，2002，37 （4）：463-466 [2] 姜艳萍，樊治平. 三角模糊数互补判断矩阵排序的一种实用方法[J]. 系统工程，2002，20（2）：89~92. [3] Orlorski S A. Decision-making with a fuzzy preference relation[J]. Fuzzy Sets and Systems,1978, (1)：155~167. [4] Kacprzyk J. Group decision making with a fuzzy linguistic majority[J]. Fuzzy sets and systems, 1986, 18：105~118. [5] Liou T S, Wang M J．Ranking fuzzy numbers with integral value [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1992, 50：247~255． [6] 许叶军，达庆利. 基于理想点的三角模糊数多指标决策法[J].系统工程与电子技术，2007，29（9）：1469-1471 [7] 黄智力，罗键. 基于群体理想解的三角模糊数群体多属性。