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1、1,第三章,多元随机变量及其分布,2,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.,3,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量.,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量 .,请注意与一维情形的对照 .,4,1 二维随机变量及其分布函数,二维随机变量（X,Y）,X和Y的联合分布函数,X的分布函数,一维随机变量X,
2、x,5,6,二维随机变量分布函数的基本性质,7,边缘分布,即,同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系,二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而X和Y都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布.,8,设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,例1,则边缘分布函数为,其中参数,9,说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。,边缘分布与参数无关.,10,2 二维离散型随机变量及其分布律,则称二维表,为(X,Y)的联合分布律。
3、,1、联合分布,11,12,例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。,解,13,解,例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。,14,例2,解,由于,所以,15,故(X,Y)的联合概率分布为,16,2、边缘分布,设( X,Y )是离散型二维随机变量，联合分布律为,则边缘分布为,记作,17,袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为,例3,Y的边缘分布,X的
4、边缘分布,所以 X,Y 的边缘分布律分别为,18,若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为,边缘分布为,19,边缘分布为,与有放回的情况比较，,但边缘分布却完全相同。,两者的联合分布完全不同，,若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为,20,例4 设相互独立的随机变量(X,Y )的联合分布为,解,求：(1) c；,(1),21,例4 设相互独立的随机变量(X,Y )的联合分布为,解,求：(1) c；,(1),0.3,(2) 边缘分布,22,例4 设相互独立的随机变量(X,Y )的联合分布为,解,求：(1) c；,(1),0.3,23,练习：,P98 习题三 2.(具体列表) 5.,补充
5、题 设A，B为两个随机事件，且,24,3 二维连续型随机变量及其密度函数,1、联合分布,25,面上的一个区域.,26,设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,例5,解,(1) 由规范性,27,28,29,2、边缘分布,设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为,由于,所以(X,Y)关于X的边缘密度函数为,同理, 关于Y 的边缘密度函数为,30,求 (1) c的值；(2) 两个边缘密度；,解 (1),设(X,Y)的概率密度是,例6,31,(2),所以,32,(2),所以,33,34,设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量( X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在G上服
6、从均匀分布.,若( X,Y)服从区域G上的均匀分布, 则对于G中任一子区域D, 有,二维均匀分布,35,于是( X,Y)落在G中任一子区域D的概率与D的面积成正比, 而与D的形状和位置无关. 在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。,36,例7,解,随机向量(X,Y)的密度概率为,其他,37,例7,解,随机向量(X,Y)的密度概率为,其他,38,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,记作,则称( X,Y)服从参数为 的二维正态分布.,二维正态分布,39,这就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数 .因此可以断定参数 描
7、述了X与Y之间的某种关系!,由联合分布可以确定边缘分布；,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,再次说明联合分布和边缘分布的关系:,40,例8,解,设随机变量X和Y的联合概率密度为,试求常数C和各参数的值,41,例8,解,设随机变量X和Y的联合概率密度为,试求常数C和各参数的值,42,练习：,P98 习题三 8. 10. 11.,43,第四节,随机变量的独立性,44,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x, y,则称X,Y相互独立 .,45,上式用分布函数表示,即,情形
8、1 ( X,Y )是离散型随机变量，则 X,Y相互独立的定义等价于,46,袋中有2只白球3只黑球，摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为,例1,经验证，放回时，X与Y相互独立；不放回时，不独立。,47,设(X,Y )的联合分布律为,例2,且X与Y 相互独立，试求 和 。,又由分布律的性质,有,解,由X与Y 相互独立，知,48,解,例3 假设随机变量X和Y相互独立，都服从参数为p(0p1)的0-1分布，随机变量,问p取何值时，X和Z相互独立？,首先求出Z的概率分布：,因为X和Y相互独立,49,令,所以p取0.5时，X和
9、Z相互独立。,50,情形2 ( X,Y )是连续型随机变量，则 X,Y相互独立的定义等价于,在平面上几乎处处成立。,例4,解,设(X,Y )的联合密度函数为,问X与Y是否相互独立？,X,Y的边缘密度分别为,成立，所以X,Y相互独立。,51,例5,解,设(X,Y )的联合密度函数为,问X与Y是否相互独立？,X,Y的边缘密度分别为,所以X,Y 不相互独立。,52,练习：,P83 习题三 12. 14. 17. 18. 19.,53,5 条件分布,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个随机变量 X,Y ，在给定Y 取某个或某些值的
10、条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,54,一、离散型随机变量的条件分布,设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.,类似地，对于固定的 i，若P(X=xi)0，则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.,55,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,例如：,56,设(X,Y )的联合分布律为,例1,解,求在给定Y=2下随机变量X的条件分布律和在给定X=1下随机变量Y的条件分布律。,因为,所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为,57,或
11、写为,58,所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为,或写为,59,二、连续型随机变量的条件分布,不讲。,60,练习：,P100 习题三 21. 23.,61,第六节,二维随机变量 的函数的分布,62,在这节讨论如何利用随机向量(X,Y )的分布求它的函数的分布，分离散型和连续型两种情形讨论。,一、二维离散型随机变量函数的分布,设随机向量(X,Y )的联合分布律为,63,设随机变量(X,Y )的联合分布律为,例1,解,分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布律。,64,65,证,所以,例2,此性质称为泊松分布的可加性,66,二、二维连续型随机变量函数的分布,主要讨论和的情况.,
12、设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X+Y的密度.,Z=X+Y的分布函数是:,两边关于z求导，则得Z的密度函数为,67,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式, 记为 .,68,设X,Y相互独立且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.,由卷积公式,有,例3,解,69,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,正态分布的可加性,70,解,例4,Z 的分布函数为,71,解,故 Z 的概率密度为,72,练习：,P101 习题三 29. 30. 31.(1) 34.,73,END,END,74,证,补充练习：,可以证明：,75,证,由恒等式,即,所以,此即说明,76,补充题：,解,掷一颗均匀骰子二次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律,77,边缘分布：,78,解,例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分,由卷积公式,仅当,上述积分的被积函数才不等于0,因此,别为,79,80,即有,
