《【2017年整理】二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同矩阵的相似： 设 为 阶矩阵，若存在可逆矩阵 使 ，则 与 相似。BA、 nPBA1相似的性质(相似的必要条件)：若 ,则AB(1) ； (2) ； ()r(3) 即有相同的特征值； (4) 。E iiab矩阵的合同： 和 为两个 阶对称矩阵,若存在 阶可逆矩阵 使 ，则称 与 合同。ABnnCBAT例如： 则有 ，显然两矩阵合同特征值未必相同！11,42CTB从而两矩阵合同未必相似！由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵 使得 ,特别地,必P1A有正交矩阵 （ ）使
2、 为 的特征值，故而任意Q1T11 23,1,2T iAQ一个实对称矩阵 ，一定存在正交矩阵 ，使得 不仅合同而且相似于一个对角阵。A下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？,若 为可逆矩阵，称 为可逆线性变换；12133,0cCCxCy若 是正交矩阵，称 为正交变换。xy下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？以三元二次型为例：,且 ,123, ()()xCyTTTTfxAAyCyB可 ()TTCAB故经可逆线性变换 仍为关于 的二次型，且原二次型矩阵 和新二次型矩阵 是合同的123,f123,关系，若 是正交矩阵,那么 , ,所以 不仅合同而且相似。CT1TB,A对于任意一个实对称
3、矩阵 ，一定存在正交矩阵 （ ）使得AQT为 的特征值，11 23,1,2T iQA因此若用正交变换 , (标准形)即 与 合同且 与 相似,xy223xQyTTAyA2其中 的对角线 为 的特征值。123,A所以只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是 的特征值。而经一般的可逆线性变A换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为 的特征值。下面来看一个具体的例子：二次型 ，二次型的矩阵 ，123(,)fx22131354xx125032 23050125()05EArc ， 的特征值为 ，求出 的特征向量再单位化可以组成1(5)()6A,6A正交矩阵 ， 经正交变换 化为 ，Q123,)fx22131354xxxQy2213560y下面再看配方法： 123(,)fx222 222131312333354()()()5xx，经可逆线性变换224()xxxx化二次型为标准形 。可见 并不是二次型矩阵 的特征值！12323yx21y,10A
