初中数学中的折叠问题

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1、初中数学中的折叠问题 监利县第一中学初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中 BC，BD 为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，CBD= 度2如图所示，一张矩形纸片沿 BC折叠，顶点 A落在点 A处，再过点 A折叠使折痕 DEBC，若 AB=4，AC=3，则ADE 的面积是 3如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕 DG，求 AG 的长根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿

2、着 BF 折叠，使得折痕 BE 也与 BC 边重合，展开后如图所示，则 DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 32 1FEDCBAGACA BD26将一张矩形纸条 ABCD按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 度；EFG的形状 三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF7如图，将矩形纸片 ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，

3、展平，得折痕 EF（如图） ；延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B处， （如图） ；展平，得折痕 GC（如图） ；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C处， （如图） ；沿 GC折叠（如图） ；展平，得折痕 GC，GH（如图 ） （1）求图 中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片 ABCD的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9如图，将边长为 4的正方形 ABCD沿着折痕 EF折叠，使点B落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变，

4、图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10如图，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上 不与 A、D 重合MN 为折痕，折叠后 BC与 DN 交于 P(1)连接 BB，那么 BB与 MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设 BM=y，AB=x，求 y 与 x 的函数关系式；(3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNCB面积最小？并验证你的猜想541 3 2GDFCDB CAE3二、纸片中的折叠11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则 的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等， 及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180 度

5、的性质，注意EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12如图，将一宽为 2cm 的纸条，沿 BC，使CAB=45，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形 ABC13将宽 2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕 PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14如图 a 是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠

6、成图c，则图 c 中的CFE 的度数是（ ）a2 130 BEFACD4图c图b图aCDG FEACGDFEAFDB CA EB B本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知DEF= EFB=20 图 bGFC=140，图 c 中的CFE=GFC-EFG15将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽 AB 是（ ）16一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面） ，

7、为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点 P 的长度相等，则最初折叠时，求 MA的长三、三角形中的折叠17如图，把 RtABC（C=90），使 A，B 两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠，C点恰好与 D点重合，则 CE：AE=G EFDAEF DB CABC60cm518在ABC 中，已知 AB=2a，A=30，CD 是 AB边的中线，若将ABC 沿 CD对折起来，折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的 14（1）当中线 CD等于 a时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于 a”的限制条件下）：AC 边的长可以等于 a；折叠前的ABC

8、 的面积可以等于 ；折叠后，以 A、B 为端点的线段 AB与中线 CD平行且32a2相等其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19在ABC 中，已知A=80，C=30，现把CDE 沿 DE 进行不同的折叠得CDE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内，则求 1+ 2 的和；（2）如图（2）把CDE 沿 DE 折叠覆盖A ，则求1+2 的和；（3）如图（3）把CDE 沿 DE 斜向上折叠，探求1、2、C 的关系（1）根据折

9、叠前后的图象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；B CDA B231 EBCD BA21图(1)CAC BDE6（2）连接 DG，将ADG+AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将2 看作 180-2CED ，1 看作 2CDE-180 ，再根据三角形内角和定理来求由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20观察与发现：将三角形纸片 ABC（AB AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图） ；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点

10、D重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 AEF（如图） 小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为BE（如图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图） 求图中 的大小由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF，折痕与 AD 边交于点E，与 BC 边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩

11、形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点D 都与点 F 重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ（如图 ） ，求MNF 的大小12图(3)C ABCDE21图(2)GCABCDE7在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21直角三角形纸片 ABC 中，ACB=90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、点 F探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形先确定CD

12、F 是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因为不确定BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，BD=BE， DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可22下列图案给出了折叠一个直角边长为 2 的等腰直角三角形纸片（图 1）的全过程：首先对折，如图 2，折痕 CD 交 AB 于点 D；打开后，过点 D 任意折叠，使折痕 DE 交 BC 于点E，如图 3；打开后，如图 4；再沿 AE 折叠，如图 5；打开后，折痕如图 6则折痕 DE 和AE 长度的和的最小值是（ ）本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章 http:/ 1（如图

13、 1），沿它对称轴折叠 1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1折叠 n次后所得到（如图 n+1）一条腰长为多少？本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的824如图，矩形纸片 ABCD中，AB= ，BC= 第一次将纸片折叠，使点 B与点 D重合，6 10折痕与 BD交于点 O1；O 1D的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B与点 D1重合，折痕与 BD交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B与点 D2重合，折痕与 BD交于点O

14、3，按上述方法，第 n次折叠后的折痕与 BD交于点 On，则 BO1= ，BO n= 问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3 ，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交于点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点A 与点 D1重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A与点 D2重

15、合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn-1Dn-2的中点为 Dn-1，第 n 次纸片折叠，使 A与点 Dn-1重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2） ，则 AP6长（ ）此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力26阅读理解如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B 1A1C的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B nAnC的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC顶角BAC 的平分线 AB1折叠，点 B与点 C重合；情形二：如图 3，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B 1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C重合探究发现