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1、1,第三章 扭 转,材料力学,2,31 概述 32 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 33 纯剪切 34 等直圆杆在扭转时的应力 强度分析 35 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,第三章 扭 转,3,扭转,31 扭转的概念和实例,一、研究对象：轴 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,二、外力特点：杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶；,三、变形特点：致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的 相对转动，杆发生的变形为扭转变形。,扭转角（）：任意两截面绕轴线 转动而发生的角位移。,剪应变（）：直角的改变量。,4,扭转,工程实例,5,扭转,32 传动轴的外力偶矩
2、扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）(r/min),其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）,6,3、扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图,2、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。,1、截面法求扭矩,7,扭转,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,m,8,扭转,例1已知：一传动轴， n =300r/min，P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=
3、200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,9,扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,10,扭转,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,（单位：KNm）,11,扭转,33 纯剪切,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,12,扭转,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度 。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,13,扭转,4. 与 的关系：,横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变
4、，方向与该截面的扭矩方向一致。,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,14,扭转,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,单元体的各个面上，只有切应力而无正应力，此为纯剪切；,15,扭转,四、剪切虎克定律：,切应变（角应变）：,16,扭转,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系：,由纯剪切实验得：,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,17,扭
5、转,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,18,扭转,五、剪切应变能,单位体积内的剪切应变能密度为：,由剪切胡克定律 ，上式可写为：,19,扭转,练习：3-1.（C）,20,作业：31 ； 32,21,扭转,34 圆杆在扭转时的应力 强度条件,横截面变形后仍为平面；轴向无伸缩；纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,22,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比
6、。, 扭转角沿长度 方向变化率。,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,23,扭转,T,2. 物理关系：,虎克定律： 代入上式得：,24,扭转,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,极惯性矩,25,扭转,上式为横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。,26,扭转,单位：mm4，m4。, 极惯性矩：,27,扭转, 应力分布,T,
7、t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,28,扭转,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。,29,扭转,二、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,30,扭转,例2 功率为15kW，转速为154转/分的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,31,扭转,35 圆杆在扭
8、转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l 一段杆两截面间相对扭转角 为：,32,扭转,二、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,33,扭转,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,34,例3 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直
9、径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解：计算外载并画扭矩图：,T,x,7.024 kNm,4.21 kNm,35,扭转,A、由强度条件确定直径：,由强度条件确定两杆直径分别为：,36,扭转,综上，在同时满足强度及刚度的条件下：,全轴选同一直径时：,B、由刚度条件确定直径：,由刚度条件确定两杆直径分别为：,37,扭转,答：轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。,主动轮与从动轮如何安排合理？,38,扭转,练 3-5,39,扭转,例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径:,40,扭转, 由扭转刚度条件校核刚度,右端面转角为：,即刚度满足要求。,41,作业：35； 38； 314；,42,扭转,第三章结束,
