重要资料高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案资料

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1、0 高中数列知识点总结高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义: 1nn aad (d为常数), 1 1 n aand 等差中项:xAy,成等差数列2Axy 前n项和: 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质: (1)若mnpq,则 mnpq aaaa;(2) n a为等差数列 2 n Sanbn(ab,为常数,是关于n的常数项为常数项为 0 的二次函数) 2. 等比数列的定义与性质 定义: 1n n a q a (q为常数,0q ), 1 1 n n aa q . 等比中项:xGy、成等比数列 2 Gxy,或Gxy . 前n项和: 1 1 (1) 1 (1) 1

2、n n na q Saq q q (要注意公比)q 性质: n a是等比数列(1)若mnpq,则 mnpq aaaa 3求数列通项公式的常用方法 一、公式法一、公式法 例例 1 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解:两边除以,得,则,故数列是以 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以1 2 2 2 a 1 1 2 33 1 (1) 22 n n a n 数列的通项公式为。 n a 31 ()2

3、 22 n n an 二、累加法二、累加法 )( 1 nfaa nn 例例 2 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 211 nn aana , n a 1 解:由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 ()()()() 2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为。 n a 2 n an 例例 3 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 32 313 n nn

4、aaa , n a 解:两边除以,得, 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 1 11 21 3333 nn nnn aa 三、累乘法三、累乘法 )( 1 nf a a n n 例例 4 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 2(1)53 n nn anaa , n a 解:因为,所以,则,故 11 2(1)53 n nn anaa ,0 n a 1 2(1)5n n n a n a 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1

5、)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a (1) 1 2 3 25!. n n n n an 例例 5 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列满足 n a ,求的通项公式。 11231 123(1)(2) nn aaaaanan , n a 2 解:因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn ana n 故 1 1(2) n n a nn a

6、 四、待定系数法四、待定系数法(重点)(重点) 例例 6 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 23 56 n nn aaa , n a 解:设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将代入式,得,等式两边消去,得 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 2 n a ,两边除以,得代入式得 1 3 5525 nnn xx 5n352 ,1,xxx 则 1 1 52(5 ) nn nn aa 例例 7 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 35 241 n nn aaa , n a 解:设 1 1 23(2) nn nn axyaxy

7、将代入式,得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423(2) nnn nn axyaxy 整理得。(52 ) 24323 nn xyxy 令,则,代入式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223(5 22) nn nn aa 例例 8 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 2 11 23451 nn aanna , n a 3 解:设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将代入式,得 2 1 2345 nn aann ,则 222 2345(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz 22 2(3)(24)(5)2

8、222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去,得,2 n a 22 (3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz 解方程组,则,代入式,得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3(1)10(1) 182(31018) nn annann 五、对数变换法五、对数变换法 例例 9 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解:因为,所以。在式两边取常用对 5 11 2 37 n nn aaa , 1 00 nn aa , 5 1 2 3n nn aa 数得 1 lg5lglg3l

9、g2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny 11 六、迭代法六、迭代法 例例 10 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 3(1)2 11 5 n n nn aaa , n a 解:因为,所以 3(1)2 1 n n nn aa 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 七、数学归纳法七、数学归纳法 例例 11 已知,求数列的通项公式。(其他方法呢?)(其他方法呢?) 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn , n a 解:由及,得 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 1 8

10、9 a 4 21 22 32 22 43 22 8(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181 aa aa aa 由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。 2 2 (21)1 (21) n n a n (1)当时,所以等式成立。1n 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a (2)假设当时等式成立,即,则当时,nk 2 2 (21)1 (21) k k a k 1nk 1 22 8(1) (21) (23)

11、 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1) 11 2(1) 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知,当时等式也成立。1nk 根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。 * nN 八、换元法八、换元法 例例 12 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 1 (141

12、24)1 16 nnn aaaa , n a 5 解:令,则124 nn ba 2 1 (1) 24 nn ab 故,代入得 2 11 1 (1) 24 nn ab 1 1 (14124) 16 nnn aaa 22 1 111 (1)14(1) 241624 nnn bbb 即 22 1 4(3) nn bb 因为,故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则,即,可化为, 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 1 1 3(3) 2 nn bb 九、不动点法九、不动点法 例例 13 已知数列满足,求数列的通项公式。 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a , n a 解:令,得,则是函数的两个 2124 41 x x x 2 420240xx 12 23xx, 2124 ( ) 41 x f x x 不动点。因为 1 1 2124 2 24121242(41)1326213 2124 321243(41)92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 十、倒数法十、倒数法 11 2 1 2 n n n a aa a ,求 n a 4. 求数列前 n 项和的常用方法 一、公式法一、公式法 利用下

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