《重要资料高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重要资料高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案资料（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、0 高中数列知识点总结高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义： 1nn aad （d为常数）， 1 1 n aand 等差中项：xAy，成等差数列2Axy 前n项和： 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质： （1）若mnpq，则 mnpq aaaa；（2） n a为等差数列 2 n Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为常数项为 0 的二次函数） 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1n n a q a （q为常数，0q ）， 1 1 n n aa q . 等比中项：xGy、成等比数列 2 Gxy，或Gxy . 前n项和： 1 1 (1) 1 (1) 1
2、n n na q Saq q q （要注意公比）q 性质： n a是等比数列（1）若mnpq，则 mnpq aaaa 3求数列通项公式的常用方法 一、公式法一、公式法 例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解：两边除以，得，则，故数列是以 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以1 2 2 2 a 1 1 2 33 1 (1) 22 n n a n 数列的通项公式为。 n a 31 ()2
3、 22 n n an 二、累加法二、累加法 )( 1 nfaa nn 例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 211 nn aana ， n a 1 解：由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 ()()()() 2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为。 n a 2 n an 例例 3 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 32 313 n nn
4、aaa ， n a 解：两边除以，得， 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 1 11 21 3333 nn nnn aa 三、累乘法三、累乘法 )( 1 nf a a n n 例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2(1)53 n nn anaa ， n a 解：因为，所以，则，故 11 2(1)53 n nn anaa ，0 n a 1 2(1)5n n n a n a 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1
5、)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a (1) 1 2 3 25!. n n n n an 例例 5 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足 n a ，求的通项公式。 11231 123(1)(2) nn aaaaanan ， n a 2 解：因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn ana n 故 1 1(2) n n a nn a
6、 四、待定系数法四、待定系数法（重点）（重点） 例例 6 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 23 56 n nn aaa ， n a 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将代入式，得，等式两边消去，得 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 2 n a ，两边除以，得代入式得 1 3 5525 nnn xx 5n352 ,1,xxx 则 1 1 52(5 ) nn nn aa 例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 35 241 n nn aaa ， n a 解：设 1 1 23(2) nn nn axyaxy
7、将代入式，得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423(2) nnn nn axyaxy 整理得。(52 ) 24323 nn xyxy 令，则，代入式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223(5 22) nn nn aa 例例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 2 11 23451 nn aanna ， n a 3 解：设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将代入式，得 2 1 2345 nn aann ，则 222 2345(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz 22 2(3)(24)(5)2
8、222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去，得，2 n a 22 (3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz 解方程组，则，代入式，得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3(1)10(1) 182(31018) nn annann 五、对数变换法五、对数变换法 例例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解：因为，所以。在式两边取常用对 5 11 2 37 n nn aaa ， 1 00 nn aa ， 5 1 2 3n nn aa 数得 1 lg5lglg3l
9、g2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny 11 六、迭代法六、迭代法 例例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 3(1)2 11 5 n n nn aaa ， n a 解：因为，所以 3(1)2 1 n n nn aa 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 七、数学归纳法七、数学归纳法 例例 11 已知，求数列的通项公式。（其他方法呢？）（其他方法呢？） 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ， n a 解：由及，得 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 1 8
10、9 a 4 21 22 32 22 43 22 8(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181 aa aa aa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 2 2 (21)1 (21) n n a n （1）当时，所以等式成立。1n 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk 2 2 (21)1 (21) k k a k 1nk 1 22 8(1) (21) (23)
11、 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1) 11 2(1) 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知，当时等式也成立。1nk 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 * nN 八、换元法八、换元法 例例 12 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 1 (141
12、24)1 16 nnn aaaa ， n a 5 解：令，则124 nn ba 2 1 (1) 24 nn ab 故，代入得 2 11 1 (1) 24 nn ab 1 1 (14124) 16 nnn aaa 22 1 111 (1)14(1) 241624 nnn bbb 即 22 1 4(3) nn bb 因为，故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则，即，可化为， 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 1 1 3(3) 2 nn bb 九、不动点法九、不动点法 例例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a ， n a 解：令，得，则是函数的两个 2124 41 x x x 2 420240xx 12 23xx， 2124 ( ) 41 x f x x 不动点。因为 1 1 2124 2 24121242(41)1326213 2124 321243(41)92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 十、倒数法十、倒数法 11 2 1 2 n n n a aa a ，求 n a 4. 求数列前 n 项和的常用方法 一、公式法一、公式法 利用下
