《解析几何中的定点和定值问题资料》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解析几何中的定点和定值问题资料(25页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动,动中有定,并且常与轨迹问题,曲线系问题等相结合,深入考查直线的圆,圆锥曲线,直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合,分类讨论,化归与转化,函数和方程等数学思想方法。一、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当、变化且+=时,证明直线AB恒过定点,并求
2、出该定点的坐标。例2已知椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程;设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;在的条件下,证明直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程;当时,求与的关系,并证明直线过定点【针对性练习2】在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m0,。(1)设动点P满足,求点P的轨迹;(2)设,求点T的坐标;
3、(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,焦距为,短轴长为()求椭圆C的标准方程;()若直线:与椭圆交于不同的两点(不是椭圆的左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证:直线过定点,并求出定点的坐标例3、已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点。(I)求椭圆的标准方程; ()设点是线段上的一个动点,且,求的取值范围; ()设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点,使得、三点共线?若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由。二、 定值问题在
4、解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果,;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数
5、形式或三角形式,证明该式是恒定的。同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现,特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点,共线。(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。例5、已知,椭圆C过点A,两个焦点为(1,0),(1,0)。(1)求椭圆C的方程; (2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。将第二问的结论进行如下推广:结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率
6、互为相反数的直线交椭圆于E、F两点,则直线EF的斜率为定值(常数)。结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点,则直线EF的斜率为定值(常数)。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点,则直线EF的斜率为定值(常数)。例6、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴的非负半轴上,点到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率;()若为焦点关于直线的对称点,动点满足,问是否存在一个定点,使到点的距离为定值?若存在,求出点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,
7、P(2,0)为定点()若点P为抛物线的焦点,求抛物线C的方程;()若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,点A、B是圆M与轴的两交点,试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值?若存在,求这个定值;若不存在,说明理由例8、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,离心率为()求椭圆的方程;()过点作直线交于、两点,试问:在轴上是否存在一个定点,为定值?若存在,求出这个定点的坐标;若不存在,请说明理由三、 定直线问题例9、设椭圆过点,且焦点为()求椭圆的方程;()当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上例10、已知椭圆C的离心
8、率,长轴的左右端点分别为,。()求椭圆C的方程;()设直线与椭圆C交于P、Q两点,直线与交于点S。试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。四、 其它定值问题例11、已知双曲线的离心率为,右准线方程为()求双曲线的方程;()设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.例12、己知椭圆 (ab0),过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2,求证:以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆:取椭圆长轴和短轴为两直径,则的方程为,原点
9、O到直线的距离为,则与菱形内切的圆方程为。例13、已知P是双曲线上的一个定点,过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点(异于P点),求证:直线P1P2的方向不变。探索定值:取P,过P点且互相垂直的直线中有一条过原点,则这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点,其斜率 PP2的方程为把代入解得 (定值) 证明:设PP1的斜率为,则PP2的斜率为 ,PP1的方程为 PP2的方程为,与抛物 联立解得、 ,从而(定值) EX:过抛物线y2=2px(P0)上一定点(x0,y0)作两条直线分别交抛物线于A,B两点,满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补,则AB的斜率为定值。推广:抛物线推
10、广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,三角形ABM的三个顶点都在椭圆上,其中M点为(1,1),且直线MA、MB的斜率之和为0。(1)求椭圆的方程。(2)求证:直线AB的斜率是定值。分析:(1)x2+2y2=3 (2)2、已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.()若线段中点的横坐标是,求直线的方程;()在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.分析:M(,0) 3、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx(m0)于A、B两点,若A、B两点满足AQP=BQP,若其中Q点坐标为(-4,0),原点O为PQ中点。(1)证明
11、:A、P、B三点线;(2)当m=2时,是否存在垂直于x轴的直线l,使得l被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值?如果存在求出l的方程。分析:设点AB的坐标(2)l:x=3.4、 已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。(1)求椭圆的方程。(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MDCD,连结CM交椭圆于点P,证明:为值。(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于C的定点Q,使得以MP为直径的圆过直线DP,MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标。分析:(1)(2)由O、M、P三点共线,得,所以=4(3)设Q点(a,0),由,
12、得a=0.5、设P为双曲线上任意一点,F1,F2是双曲线的左右焦点,若的最小值是-1,双曲线的离心率是。(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点,过作右准线的垂线,垂足为C,求证:直线AC恒过定点。分析:(1) (2)先猜再证:(,0)换掉x1代入韦达定理得证。方法二:设AB:代入方程得:()故AC:=又2my1y2=-(y1+y2)然后代入韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,RtABC的斜边BC恰在x轴上,点B(2,0),C(2,0),且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程; (II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同
13、点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使恒为定值?若存在,求出点E的坐标及实数的值;若不存在,请说明理由。分析:(1) (2)m= 定值为 不容易先猜出,只能是化简求出。7、已知直线l过椭圆E:的右焦点F,且与E相交于P,Q两点。(1) 设,求点R的轨迹方程。(2) 若直线l的倾斜角为60,求的值。(当l的倾斜角不定时,可证是定值。)分析: (2)可先猜再证:解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动,动中有定,并且常与轨迹问题,曲线系问题等相结合,深入考查直线的圆,圆锥曲线,直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合,分类讨论,化
14、归与转化,函数和方程等数学思想方法。四、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当、变化且+=时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标。解析: 设A(),B(),则,代入得 (1)又设直线AB的方程为,则,代入(1)式得直线AB的方程为直线AB过定点(-说明:本题在特殊条件下很难探索出定点,因此要从已知出发,把所求的定点问题转化为求直线AB,再从
15、AB直线系中看出定点。例2【2010东城一模】已知椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程;设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;在的条件下,证明直线与轴相交于定点解析:由题意知,所以,即,又因为,所以,故椭圆的方程为:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为 联立消去得:,由得,又不合题意,所以直线的斜率的取值范围是或设点,则,直线的方程为,令,得,将代入整理,得 由得代入整理,得,所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程;当时,求与的