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1、求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将BPC绕点B逆时钟旋转60至BPC，连接PP、CC、AC则BPP，BCC均为等边三角形所以PB=PP，PC=PC所以PA+PB+PC=AP+PP+PCAC而C（2，-23）所以AC=（0-2）+（3+23）=（25+123）.即PA+PB+PC的最小值等于AC的长（25+123）.2、已知三角形ABC
2、中，AB=10，AC=17，BC=21，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作ADBC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD=10-x=17-(21-x），解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将CPB绕点C逆时钟旋转60至CPB，连接PP、BB、AB则CPP，CBB均为等边三角形所以PC=PP，PB=PB所以PA+PB+PC=AP+PP+PBAB而B（9/2，-213/2）所以AB=（0-9/2）+（8+213/2）=（415+1683）.即PA+P
3、B+PC的最小值等于AB的长（415+1683）.【补充说明】（1）如图，以ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且APB=APC=BPC=120，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。证明：AF=AB，FAC=BAE，AC=AEAFCABECF=BE同理可证BCFBDA，CF=ADAD=BE=CF.AFCABEAFC=ABEBPF=BAF=60，BPC=120同理可证APB=APC=120APB=APC=BPC=120至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P到这三点的距离之和最短解：如果三个点在同一直线上，P点为居中的那个点如果三个点能组成三角形，这里的点P就是著名的“费马点”这时的一般结论是：当三角形有一个内角大于或等于120度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都小于120度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。作法：设三点为A、B、C1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P则P即为拟求作的点
