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1、数列通项与求和一、数列的通项方法总结： 对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：对于同时出现,的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；利用关系消掉（或者），得到关于和的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；对于出现或（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到时还会两边同除.1. 规律性形式求通项1-1.数列an满
2、足an+1=，若a1=，则a2016的值是（）ABCD1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特（Benoit BMandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（）A55B89C144D2331-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为（）ABCD2.出现,的式子1-4.正项数列an的前项和an满足:(1)求数
3、列an的通项公式an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有.1-5.设数列的前项和为.已知,.(1) 求的值;(2) 求数列的通项公式. 1-6.已知首项都是1的两个数列，满足.(1) 令，求数列的通项公式；(2) 若，求数列的前项和.牛刀小试：1.已知数列的前n项和为Sn，1，且，数列满足，其前9项和为63. （1）求数列数列和的通项公式；2.已知数列的前n项和为,且 (1)求的通项公式;(2) 设恰有4个元素,求实数的取值范围.3.需构造的（证明题）1-7.已知数列的前项和为,且满足,.(1) 求证:是等差数列;(2)求表达式；1-8.设数列an的前n项和为Sn，且首项a1
4、3，an+1=Sn+3n（nN*）（1）求证：Sn3n是等比数列；（2）若an为递增数列，求a1的取值范围牛刀小试1已知数列中，（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和为2.数列中，1， （1）求证：数列是等差数列； 二、数列求和与放缩数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。2-1. 数列满足.（1）设，求
5、数列的通项公式.（2）设，数列的前n项和为，不等式对一切成立，求m的范围.2-2.设数列满足且（1）求的通项公式；（2）设2-32-42-5牛刀小试：1.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1) 求数列an的通项公式；(2) 令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.三、数列与不等式问题在这类题目中一般是要证明，一般思路有两种：1.若an可求和，则可直接求出其和，再转化为 ，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若an不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出
6、界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的看做自变量，看做因变量，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。3-1.设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.3-2记公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列(1) 求数列的通项公式及；(2) 若，n=1，2，3，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，
7、请说明理由牛刀小试：1.数列的前项和为，已知，().(1) 求；(2) 求数列的通项；(3)设,数列的前项和为,证明:().2.设数列的前项和为.已知,.(1) 求的值;(2) 求数列的通项公式;(3) 证明:对一切正整数,有.3.数列作业1. 设数列的前项和为，且，（1） 求数列的通项；（2） 设，数列的前项和为,求证：.2.已知是各项均为正数的等比数列，且 (I)求数列的通项公式；(II)设数列满足，求数列的前项和。3.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数, 使, , 成等比数列? 若存在, 求的值； 若不存在, 请说明
8、理由.4. 已知为数列的前项和，（），且（1）求的值；（2）求数列的前项和；（3）设数列满足，求证：.5. 设数列的前项和为，且.（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列满足：，又，且数列的前项和为，求证：.6.已知数列bn满足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求数列bn的通项公式；(2)已知，求证：1.7.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1；数列bn满足bn1bnbnbn1(n2，nN*)，b11.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.8.设等差数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.11
