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1、 利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有，两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A是A的对称点，本问题也就是要使AM与BM的和最小。在连接AB的线中，线段AB最短。因此，线段AB与直线a的交点C的位置即为所求。如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、AN。因为直线a是A，A的对称轴，点M,N在a上，所以AM= AM,AN
2、= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。 教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。一、三角形中的轴对称题目1： 如图,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是_点评：本题只要把点C、D看成基本题中的、两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题
3、只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。第1题图二、四边形中的轴对称题目:2： 如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B，最小值为MB10。N第2题图三、圆中的轴对称题目3：已知：如图，已知点A是O上的一个六等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，求AP+BP的最小值。第3题图点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B在圆上，AB交ON于点p,由AON60, BON30，AOB90，半径长为1可
4、得AB。当点P运动到点p时，此时AP+BP有最小值为 四、立体图形中的轴对称题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cmH 第4题图2点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B,作ACGH于点C,连接A B。在RtA BC中，AC16, BC12,求得A B20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的
5、基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。11(2015南宁）如图6，AB是O的直径，AB=8，点M在O上，,N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，则周长的最小值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）79（2015资阳）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A
6、处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A13cmBcmCcmDcm跟踪练习1： 如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_。图73、变形3： 点A的坐标为（0，2）点，点B是半径为的B的圆心，点B的坐标为（4，2），请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在B上是否存在一个点D，使得AC+CD最小，若存在，请你在图中作出点C和点D，并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值；若不存在请说明理由。理解转化题意：点A 点B在X轴的同旁,作点A关于x轴的对称点E，连结BE交X轴于点C, ，交B于点D，点C点D即为所求。解：作点
7、A关于x轴的对称点E，作直线BE交x轴于点C，交B于点D，连接AC，则点C、D即为所求 A（0，2）E（0，-2） 设BE的数学表达式为y=kx+b，则 k=1y=x-2C(2,0)过点B作BGx轴于点 G则CG=4-2=2 BG=2BC=2 BD=CD=AC+CD= 2+=3。五、延伸拓展双重对称24（12分）（2015德州）已知抛物线y=mx2+4x+2m与x轴交于点A（，0），B（，0），且=2，（1）求抛物线的解析式（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕
8、迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用根据与系数的关系得出+=，=2，进而代入求出m的值即可得出答案；（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D，点E关于x轴的对称点E，得出四边形DNME的周长最小为：DE+DE，进而利用勾股定理求出即可；（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为4，进而分别求出即可解答：解：（1）由题意可得：，是方程mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，+=，=2，=2，=2，即=2
9、，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，y=x2+4x+2=（x2）2+6，抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D，点E关于x轴的对称点E，则D的坐标为；（2，6），E坐标为：（4，2），连接DE，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：DE+DE，如图1所示：延长EE，D交于一点F，在RtDEF中，DF=6，EF=8，则DE=10，设对称轴l与CE交于点G，在RtDG
10、E中，DG=4，EG=2，DE=2，四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PHx轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则PHQDGE，PH=DG=4，|y|=4，当y=4时，x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2，当y=4时，x2+4x+2=4，解得：x3=2+，x4=2，故P点的坐标为；（2，4），（2+，4），（2，4），（2+，4）点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键六、延伸拓展能力提高22（14分）（2015日照）如图，抛物线
11、y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？考点：二次函数综合题；线段的
12、性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.专题：压轴题分析：（）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BHx轴于H，如图1易得BCH=ACO=45，BC=，AC=3，从而得到ACB=90，然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值；（）（1）过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=x，易得APQ=ACB=90若点G在点A的下方，当PAQ=CAB时，PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性质可得
13、AG=3PG=3x则有P（x，33x），然后把P（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标当PAQ=CBA时，PAQCBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作ENy轴于N，如图3易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，从而可得DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时可证到四边形OCDN是矩形，从而有ND=OC=3，ON=DC=DC然后求出点D的坐标，从
14、而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标解答：解：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为y=x2x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）过点B作BHx轴于H，如图1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=43=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45，BC=同理：ACO=45，AC=3，ACB=1804545=90，tanBAC=；（）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=xPQPA，ACB=90，APQ=ACB=90若点G在点A的下方，如图2，当PAQ=CAB时，则PAQCAB
