《关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨资料（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浅探等腰三角形中分类讨论问题 南陵县弋江蒲桥初中 张一中摘要：在解答数学问题时，会遇到多解情况，需要我们对各种情况进行分析并加以讨论，就是我们通常说的分类讨论思想。所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。关键词：等腰三角形 分类讨论思想在日常教学练习及中考中经常会出现关于等腰三角形的题，此类题学生得分通常较低，学生没有分类思想，造成漏解情况。下面就关于等腰三角形的各种分需类题型进行分析和讲解。一、当已知边不能确定是腰还是底边时，需讨
2、论例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，求周长。简析：已知条件中并没有指明5和7谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是7，则此时等腰三角形的周长等于17；当7是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于19。故这个等腰三角形的周长等于17cm或19cm。解（2）当腰长为5时，因为5+55，所以此时能构成三角形，因此三角形周长为：11+11+5=27；故这个三角形的周长为27cm。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时
3、，应分类讨论，但必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。二、当已知角不能确定是顶角或底角时，需讨论例2. 已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75简析：75角可能是顶角，也可能是底角。当75是底角时，则顶角的度数为180752=30；当75角是顶角时，则顶角的度数就等于75。所以这个等腰三角形的顶角为30或75。故应选D。例3、已知等腰三角形的一个外角等于1400，求它的各个内角。分析：已知等腰三角形的一个外角等于1400，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1400；与顶角相邻的外角等于1400。因此需要分类讨论；解：（1）当顶角
4、的外角等于1200时，则顶角=1800-1400=400，每个底角=（1800-顶角）2=700；（2）当底角的外角等于1400时，则每个底角=1800-1400=400；顶角=1800-底角2=1800-4002=1000；故三角形各个内角的度数为400，700，700或1000，400，400。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。三、当高的位置关系不确定时，需讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为350，求这个三角形的各个内角的度数。分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“
5、底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要注意三角形的高可能在三角形内也可能在三角形外。解：设AB=AC，BDAC；（1）高与底边的夹角为350时，高一定在ABC的内部，如图1，DBC=350，C=900-DBC=900-350=550， ABC=C=550，A=1800-2550=700。（2）当高与另一腰的夹角为350时， 图1 如图2，高在ABC内部时， 当ABD=350时，A=900-ABD=550， C=ABC=（1800-A）2=62.50； 如图3，高在ABC外部时，ABD=350， 图2BAD=900-ABD=900-350=550， BAC=1800-550=1250， ABC
6、=C=（1800-1250）2=27.50 三角形各内角为：550，550，700或62.50，62.50，550或1250，27.50，27.50。 说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 例5.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B=_。简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1，当交点在腰AC上时，ABC是锐角三角形，此时可求得A=50，所以B=C=（18050）=65。如图2，当交点在腰CA的延长线上时，
7、ABC为钝角三有形，此时可求得BAC=130，所以B=C=（180130）=25五、由腰上的中线引起的分类讨论例6. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为18cm和24cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。分析：已知条件并没有指明哪一部分是18cm，哪一部分是24cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是12cm时，底边长是18cm；当腰长是16cm时，底边长是10cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。六、找点构造等腰三角形需讨论例7 在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合
8、条件的点P共有（ ） A、4个 B、6个 C、8个 D、1个解：（1）、如图一，以OA为腰，以O为顶角顶点时，只须以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴分别交于P1（）P2（），P3（），P4（），分别连接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四个等腰三角形OAP1，OAP2，OAP3，OAP4（2）、如图二，以OA为腰，以A为顶角顶点时，只须以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴分别交于P5（2,0）P6（0,2），分别连接P5A，P6A，可得到两个等腰三角形OAP5，OAP6，（3）、如图三，当OA为底时，作OA的中垂线分别与坐标轴相交于P7（1,0），P8（0,1）。P4P3P2P1AO图一AP7P8O图三P6P5AO图二答案：选C
