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1、数学必修四答案详解第二章 平面向量21平面向量的实际背景及基本概念练习(P77)1、略. 2、,. 这两个向量的长度相等,但它们不等.3、,.4、(1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同.习题2.1 A组(P77)1、 (2).3、与相等的向量有:;与相等的向量有:;与相等的向量有:.4、与相等的向量有:;与相等的向量有:;与相等的向量有:5、. 6、(1); (2); (3); (4).习题2.1 B组(P78)1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对,与反向的也有6对;与同向的共有3对,与反向的也有6对;模为的向量共有4对;模为
2、2的向量有2对22平面向量的线性运算 练习(P84)1、图略. 2、图略. 3、(1); (2).4、(1); (2); (3); (4).练习(P87)1、图略. 2、,. 3、图略.练习(P90)1、图略.2、,. 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.3、(1); (2); (3); (4).4、(1)共线; (2)共线.5、(1); (2); (3). 6、图略.习题2.2 A组(P91)1、(1)向东走20 km; (2)向东走5 km; (3)向东北走km; (4)向西南走km;(5)向西北走km;(6)向东南走km.2、飞机飞行的路程为700
3、 km;两次位移的合成是向北偏西53方向飞行500 km.3、解:如右图所示:表示船速,表示河水的流速,以、为邻边作,则表示船实际航行的速度. 在RtABC中,所以因为,由计算器得所以,实际航行的速度是,船航行的方向与河岸的夹角约为76.4、(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7).5、略6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、(1)略; (2)当时,9、(1); (2); (3); (4).(第11题)10、,.11、如图所示,.(
4、第12题)12、,.13、证明:在中,分别是的中点,(第13题)所以且,即;同理,所以.习题2.2 B组(P92)(第1题)1、丙地在甲地的北偏东45方向,距甲地1400 km.2、不一定相等,可以验证在不共线时它们不相等. 3、证明:因为,而, 所以.4、(1)四边形为平行四边形,证略(第4题(2)) (2)四边形为梯形. 证明:,且四边形为梯形. (3)四边形为菱形.(第4题(3)) 证明:,且四边形为平行四边形又(第5题)四边形为菱形.5、(1)通过作图可以发现四边形为平行四边形. 证明:因为, 而所以所以,即.因此,四边形为平行四边形.23平面向量的基本定理及坐标表示 练习(P100)
5、1、(1),; (2),; (3),; (4),.2、,.3、(1),; (2),; (3),; (4),4、. 证明:,所以.所以.5、(1); (2); (3). 6、或7、解:设,由点在线段的延长线上,且,得 , ,所以点的坐标为.习题2.3 A组(P101)1、(1); (2); (3). 说明:解题时可设,利用向量坐标的定义解题.2、3、解法一:, 而,. 所以点的坐标为. 解法二:设,则, 由可得,解得点的坐标为.4、解:,. ,. ,所以,点的坐标为; ,所以,点的坐标为; ,所以,点的坐标为.5、由向量共线得,所以,解得.6、,所以与共线.7、,所以点的坐标为; ,所以点的坐标
6、为; 故 习题2.3 B组(P101)1、,. 当时,所以; 当时,所以; 当时,所以; 当时,所以.2、(1)因为,所以,所以、三点共线; (2)因为,所以,所以、三点共线; (3)因为,所以,所以、三点共线.3、证明:假设,则由,得.所以是共线向量,与已知是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误,. 同理. 综上.4、(1). (2)对于任意向量,都是唯一确定的,所以向量的坐标表示的规定合理.24平面向量的数量积 练习(P106)1、.2、当时,为钝角三角形;当时,为直角三角形.3、投影分别为,0,. 图略练习(P107)1、,.2、,.3、,.习题2.4 A组(P108)1、,.2、与的夹角
7、为120,.3、,.4、证法一:设与的夹角为.(1)当时,等式显然成立;(2)当时,与,与的夹角都为,所以 所以 ; (3)当时,与,与的夹角都为,则 所以 ; 综上所述,等式成立. 证法二:设, 那么 所以 ; 5、(1)直角三角形,为直角. 证明:,为直角,为直角三角形 (2)直角三角形,为直角 证明:,为直角,为直角三角形 (3)直角三角形,为直角 证明:,为直角,为直角三角形6、.7、. ,于是可得,所以.8、,.9、证明:,为顶点的四边形是矩形.10、解:设,则,解得,或.于是或.11、解:设与垂直的单位向量,则,解得或.于是或.习题2.4 B组(P108)1、证法一: 证法二:设,
8、.先证,由得,即而,所以再证由得 ,即,因此2、.3、证明:构造向量,. ,所以(第4题)4、的值只与弦的长有关,与圆的半径无关.证明:取的中点,连接,则,又,而所以5、(1)勾股定理:中,则证明:.由,有,于是 (2)菱形中,求证:证明:,.四边形为菱形,所以,所以 (3)长方形中,求证:证明: 四边形为长方形,所以,所以.,所以,所以 (4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可.25平面向量应用举例 习题2.5 A组(P113)1、解:设, 则, 由得,即(第2题) 代入直线的方程得. 所以,点的轨迹方程为.2、解:(1)易知,,所以.(2)因为所以,因此三点共线,而且
9、(第4题)同理可知:,所以3、解:(1); (2)在方向上的投影为.4、解:设,的合力为,与的夹角为,则,; ,与的夹角为150.习题2.5 B组(P113)1、解:设在水平方向的速度大小为,竖直方向的速度的大小为,则,.设在时刻时的上升高度为,抛掷距离为,则所以,最大高度为,最大投掷距离为.2、解:设与的夹角为,合速度为,与的夹角为,行驶距离为.则,. .所以当,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、(1) 解:设,则. .将绕点沿顺时针方向旋转到,相当于沿逆时针方向旋转到,于是所以,解得 (2) 解:设曲线上任一点的坐标为,绕逆时针旋转后,点的坐标为则,即又因为,所以,化简得第二章 复习参
10、考题A组(P118)1、(1); (2); (3); (4).2、(1); (2); (3); (4); (5); (6).(第4题)3、,4、略解:,5、(1),; (2),; (3).6、与共线. 证明:因为,所以. 所以与共线.7、. 8、. 9、.10、11、证明:,所以.12、. 13、,. 14、第二章 复习参考题B组(P119)1、(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7).2、证明:先证. ,. 因为,所以,于是. 再证. 由于, 由可得,于是(第3题) 所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明:先证 又,所以,所以 再证. 由得,即 所以 【
11、几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所示】(第5题)4、, 而,所以5、证明:如图所示,由于,所以,所以所以,同理可得所以,同理可得,所以为正三角形.(第6题)6、连接. 由对称性可知,是的中位线,.7、(1)实际前进速度大小为(千米时),沿与水流方向成60的方向前进; (2)实际前进速度大小为千米时,沿与水流方向成的方向前进.8、解:因为,所以,所以 同理,所以点是的垂心.9、(1); (2)垂直; (3)当时,;当时,夹角的余弦; (4)第三章 三角恒等变换31两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习(P127)1、. .2、解:由,得; 所以.3、解:由,是第二象限角,得; 所以.4、解:由,得;又由,得. 所以.练习(P131)1、(1); (2); (3); (4).2、解:由,得; 所以.3、解:由,是第三象限角,得; 所以.4、解:.5、(1)1; (2); (3)1; (4); (5)原式=; (6)原式=.6、(1)原式=; (2)原式=; (3)原式=; (4)原式=.7、解:由已知得, 即, 所以. 又是第三象限角, 于是. 因此.练习(P135)1、解:因为,所以 又由,得,