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1、一元一次方程解应用题的思路和解法一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。所以，我认为解题关键为：先找出等量
2、关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶液配比问题；（4）销售问题；（5）数字问题；（6）比例问题；（7）设中间变量的问题。不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。下面针对以上七项分别进行讲解。1 行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。等量关系为：路程=速度时间；速度=路程时间；时间=路程速度。特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊
3、情况，其速度在不同的条件下会发生变化。顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度+水流速度（风速）静水（无风）速度。例1：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（x290）小
4、时，第二段是耽误停留的12分钟（转换成小时为（12/60）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（x290+10）小时，所以可以列方程为：x90=x290+1260+x290+10解得：x=360千米。例2：甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求AB两地路程。 本题可以简化为：A、B两地两人匀速相向而行，2小时候相距36千米，4小时候后仍相距36千米，求A、B距离。而两人各自的速度是多少，是不是相等这些均没有交代。为了有助于我们找到等量关系，我们可以借助草图。CDB乙A甲甲从
5、A出发去B，乙从B出发去A，相向而行，2小时后假设甲到C，乙到D，此时CD之间的距离为36千米。又过了两小时后甲到D，乙到C，此时CD之间的距离仍是36千米。我们根本不知道甲乙的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。那么设A、B之间的距离为x千米，那么2小时后，甲乙一共走的路程是（x-36）千米，用时2小时，那么甲乙的速度和是：x-3624小时候后，甲乙仍相距36千米，此时他们共走的路程是（x+36）千米，用时4小时，那么甲乙的速度和是：x+364所以可以列方程为：x-362=x+364解得：x=108千米。例3：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西
6、后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为x，则：3x-9060x=450解得x=300s。在第二个过程相遇问题中，等量关系是：此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为y，则：3y+9060y=450解得：y=100s。所以往返共用时间为x+y=400s。例4：一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行
7、需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度。此题的等量关系是：静水速度顺水速度水流速度逆水速度+水流速度。设两地之间距离为x千米，则x6-2=x8+2解得x=96千米。巩固练习：1、某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？2、一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？ 3、小明到外婆家去，若每小时行5千米，正好按预定时间到达，他走了
8、全程的五分之一时，搭上了一辆每小时行40千米的汽车，因此比预定时间提前1小时24分钟到达，求小明与他外婆家的距离是多少千米？4、甲乙两人分别从相距60千米的AB两地骑摩托车出发去某地，甲在乙后面，甲每小时骑80千米，乙每小时骑45千米，若甲比乙早30分出发，问甲出发经过多长时间可以追上乙？ 5、某飞机原定以每小时495千米的速度飞往目的地，后因任务紧急，飞行速度提高到每小时660千米，结果提前1小时到达，问总的航程是多少千米？ 6、一列货车和一列客车同时同地背向而行，当货车行5小时，客车行6小时后，两车相距568千米。已知货车每小时比客车快8千米。客车每小时行多少千米？ 7、李欣骑自行车，刘强
9、骑摩托车，同时从相距60千米的两地出发相向而行。途中相遇后继续前进背向而行。在出发后6小时，他们相距240千米。已知李欣每小时行18千米，求刘强每小时行多少千米？ 8、甲、乙两人相距22.5千米，并分别以2.5千米/时与5千米/时的速度同时相向而行，同时甲所带的小狗以7.5千米/时的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回头奔向甲，遇甲后又奔向乙直到甲、乙两人相遇，求小狗所走的路程。 9、一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地,当车行驶了4小时30分后,遇雨路滑,车不能开快,这样将速度每小时减少20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲,乙两地的距离。10、小刚和小明骑自行车去郊外游玩，事先决
10、定早晨8时从家里出发，预计每时骑7.5千米，上午10时可到目的地。出发前他们又决定上午9时到达目的地。那么每小时骑多少千米？2 工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率工作时间；工作时间=工作量工作效率；工作效率=工作量工作时间。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1t。常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。例1：加
11、工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为120，乙的工作效率为110。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。所以可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天数为（12-x）天。因为乙的效率为110，则乙的工程量为x10；甲的工作效率为120，则甲的工程量为12-x
12、20，所以可列方程为：x10+12-x12=1解得：x=8天。例2：收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了23后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？解析：本题的等量关系为：老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业时间=1。可设麦地有x亩，那么在改用新式农具之前的工作效率是4亩/小时，按照此效率收割了2x3亩，此作业时间为2x34=x6。改用新式工具后，工作效率为1.54=6亩/小时，工作任务为x3亩，此作业时间为x36=x18，所以老式收割与新式收割混合的作业时间为：x6+x18，而单独老式收割的作业时间
13、为x4，所以根据等量关系可列方程为：x4-x6+x18=1解得x=36亩。例3：一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？解析：可知三个水管的工作效率如下：甲水管的注水效率为110；乙水管的注水效率为16；丙水管的放水效率为115。那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为x10，乙的注水工作量为x6，丙的排水工作量为x15，则可列方程为：x10+x6-x15=1
14、解得x=5小时。巩固练习：1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲乙合做，需几小时完成这件工作?2、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，还需几小时完成?3、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成?4、整理一批数据，、由一人做需要80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？5、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了
15、任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？3 溶液配比问题行程问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；浓度=溶质溶液100=溶质溶质+溶剂100；纯度（含量）=纯净物混合物100=纯净物纯净物+杂质100。由可得到：溶质=浓度溶液=浓度（溶质+溶剂）。例1：把1000克浓度为80的酒精配成浓度为60的酒精，应加入浓度为20的酒精多少克？ 解析：等量关系是：溶质质量相等。配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：100080%+x20%=1000+x60%计算得：x=2000克。例2：现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克？解析：本题跟上题等量关系一样。可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液（100-x）克，可列方程为：x1
