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1、一元一次不等式 知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1) 不等号的类型: “”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；“”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；“”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；“”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；“”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不
2、等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。3不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x41的解集是
3、x5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，
4、不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：(1)不等式基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“”，那么变化后仍是“”；如果原来是“”，那么变化后仍是“”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“”，那么变化后将成为“”；如果原来是“”，那么变化后将成为“”；(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改
5、变。知识点三：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。要点诠释：(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：左右两边都是整式(单项式或多项式)； 只含有一个未知数；未知数的最高次数为1。(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“”、“”、“”、“”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“”连接)。知识点四：一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不
6、等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用（2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的
7、解集有很大帮助。要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为
8、1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。解一元一次不等式的一般步骤及注意事项 变形名称具体做法注意事项去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数（1）不含分母的项不能漏乘（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项（2）如果括号前是“”号，去括号时，括号内的各项要变号移项把含未知数的项
9、都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边移项（过桥）变号合并同类项把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。系数化1在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；（1）分子、分母不能颠倒（2）不等号改不改变由系数的正负性决定。（3）计算顺序：先算数值后定符号4、 将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。5、用一元一次不等式解答实际问题，
10、关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。6、常见不等式的基本语言的意义： （1），则x是正数；（2），则x是负数； （3），则x是非正数；（4），则x是非负数；（5），则x大于y； （6） ，则x小于y；（7），则x不小于y；（8），则x不大于y；（9）或，则x，y同号； （10）或，则x，y异号；（11）x，y都是正数，若，则；若，则； （12）x，y都是负数，若，则；若，则一元一次不等式（组）知识点1：不等式的定义1下列各式中不是不等式的为（ ）A BC D 知识点2：列不等式2代数式的值不小于 0，则据此可列不等式为（ ）ABCD知识点3：不等式
11、的基本性质的应用3已知8 B C D知识点7：一元一次不等式的整数解10在不等式中，可取的最大整数值是（ ）A0 B1 C2D311不等式2135的正整数解的个数为( )A5个 B2个C3 D4个12不等式213的非负整数解是 知识点8：解一元一次不等式13不等式的解集是( )ABCD14解不等式： 15解不等式：16当取何值时，代数式的值不小于的值。知识点9：一元一次不等式的应用17小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？18某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不低于20%
12、，那么至多打几折？19小强借到一本有82页的图书，要在10天内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？知识点10：一元一次不等式与一次函数20如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是 (第20题图) (第21题图)21 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 22某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。(1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系
13、式（不要求写自变量的范围）；(2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？知识点11：一元一次不等式组的解集的数轴表示23如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )ABCD24把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图中的（ ） A B C D知识点12：解一元一次不等式组25解不等式组：26解不等式组并把解集在数轴上表示出来知识点13：一元一次不等式组的整数解27不等式组的最大整数解是（ ）A0B-1C-2D128同时满足和的整数= 知识点14：一元一次不等式组的应用29一个两位数, 它的个位数字比十位数字大3, 且这个两位数介于50和60之间, 则这个两位数是 。30现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人
