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1、温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点 34】离散型随机变量及其分布列2009 年考题1、 （2009 广东高考）已知离散型随机变量 的分布列如右表X若 ， ，则 ， 0EX1Dab【解析】由题知 ， ，2cb061c 12122ca，解得 ， .15a4答案： ， .22、 （2009 上海高考）某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 _（结果用最简分数表示）. E【解析】 可取 0，1，2，因此 P（ 0） ， P（
2、1） ，2075C210715CP（ 2） ， 0 .27CE14答案： 43、 （2009 山东高考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q 为 0.25，在 B 处的命中率为 q ，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用1 2表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为0 2 3 4 5w.w.p 0.03 P1 P2 P3 P4（1） 求 q 的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2（2） 求随机
3、变量 的数学期望 E ;（3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。X -1 0 1 2P a b c【解析】（1）设该同学在 A 处投中 为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P(B)= q , .()0.75PA22()1Pq根据分布列知: =0 时 =0.03,所以 ，q =0.8. 2()()0.75(1)Pq210.2（2）当 =2 时, P 1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( BABA=0.75 q ( )2=1.5 q ( )=0.24)()()22当 =
4、3 时, P 2 = =0.01, 20.51)P当 =4 时, P 3= =0.48,2()()(7ABB当 =5 时, P 4= )A=0.2422()()(0.5(1)0.5Pqq所以随机变量 的分布列为0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量 的数学期望.0.10.8.243.6E（3）该同学选择都在 B 处投篮 得分超过 3 分的概率为 ()PB;()()()PP2(1).96q该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处 投篮得分超过 3 分的概率大.4、 （2009 天津
5、高考）在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3件，求：（I） 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 ，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的310C结果数为 ，那么从 10 件 产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)= Ck37,k=0,1,2,3.k3107所以随机变量 X 的分布列
6、是X 0 1 2 3P 247402407120X 的数学期望 EX= 931（）设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品 “为事件 A2，”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且 A=A1A2A3 而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,40)(31CP4070所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + =40371205、 （2009 浙江高考）在 这 个自然
7、数中，任取 个数,2,9 3（I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率；1（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的数3 1,2和 ，此时 的值是 ） 求随机变量 的分布列及其数学期望 1,22E【解析】（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 45390()CP（II）随机变量 的取值为 的分布列为0,10 1 2P 51221所以 的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 03E6、 （2009 辽宁高考）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三
8、部分面积1之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求 P（ A） 【解析】（）依题意 X 的分列 为6 分X（）设 A1 表示事件“第一次击 中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2.B1 表示事件“第二次 击中目标时， 击中第 i 部分”，i=1， 2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3， ,112ABAB所求的概率为 12()()()BP（ ）111(（12 分0.9.0.0.3.
9、87、 （2009 福建高考）从集合 的所有非空子集中，等可能地取出一个。,2345（1） 记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望 E 【解析】（1）记”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A基本事件总数 n= =3112355C45C事件 A 包含的基本事件是1,4,5、 2，3，5、1，2，3，4事件 A 包含的基本事件数 m=3所以 3()1mpn（II）依题意， 的所有可能取 值为 1，2，3，4，5又 ， ， 15()3Cp0()Cp3510()Cp， 45()151()3故
10、 的分布列为：1 2 3 4 5P 5310 10 531 13从而 E +2 +3 +4 +535388、 （2009 安徽高考）某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D 中直接12 13受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列( 不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数学期望）.【解析】随机变量 X 的分布列是X 1 2
11、 3P 3116X 的均值为 126E附：X 的分布列的一种求法共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 ：16 ABCD ABCDABCDABDCACDB在情形 和之下，A 直接感染了一个人；在情形 、之下， A 直接感染了两个人；在情形 之下，A 直接感染了三个人。9、 （2009 全国）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求
12、得分布列及数学期望。 【解析】（1）记 表示事件：第 局甲获胜， ； 表示事件：第 局乙获胜，iAi3,45ijBj3,4j表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲 获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，B甲获胜 2 局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，345345BA故 34()()()PAPB345345()PA0.6.06.0.6.8（2） 的取值可以为 2，3，由于各局比赛结果相互独立，故 434343434()()()()()()PABPABPABP 0.6.40.52(3)1()10.48P所以随机变量 的分布列为 2 3P 0.52 0.48 随机变量 的数学期望2
13、()3()20.53.482.E10、 （2009 北京高考）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min.13（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.【解析】（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为 .1143327P（）由题意，可得 可能取的 值为 0，2
14、，4，6，8（单位：min）. 事件“ ”等价于事件“该学生在路上 2k遇到 次红灯”（ 0，1，2，3，4），k ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 44,13kkPkC即 的分布列是0 2 4 6 8P168381827811 的期望是 .02463E11、 （2009 湖北高考）一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 ，求 的分布 x y列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】依题意，可分别取 、6、 11 取，则有5123(5),(),(7)411638,9,0,)66ppp的分布列为5 6 7 8 9 10 11p12314631261.427890866E12、 （2009 湖南高考）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在 3 名工人独立地从中任1236选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他们选择的项目
