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1、高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第4章 定积分及其应用,主要内容: 一、定积分的概念与性质 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算 四、定积分在几何中的应用 五、定积分在其他方面的应用 六、广义积分,一、定积分的概念与性质,面积 S=？,S1,S2,=？,引例1 求曲边梯形的面积,曲边梯形：由三条直线段（其中二条平行且与第三条垂直（底边）和一条曲线段（称之为曲边，且与二平行线段有且仅有一个交点）所围成的图形，称之为曲边梯形。如左图 abBA,（一）两个引例,引例1 求曲边梯形的面积,引例1 求曲边梯形的面积, 分割（化整为零）,引例1 求曲边梯形的面积, 取近似(不变代变),引
2、例1 求曲边梯形的面积, 求和(积零为整),引例1 求曲边梯形的面积, 取极限(无限逼近),引例1 求曲边梯形的面积,引例2 变速直线运动的路程,基本思想：,引例2 变速直线运动的路程,引例2 变速直线运动的路程,综上二例:,分割 (化整为零),取近似 (不变代变),求和 (积零为整),取极限 (无限逼近),1、定义,（二）定积分的定义,其中：,：积分和,：积分区间,：积分变量,：被积表达式,：积分号,注意：,1）极限存在时，定积分为一个确定的数， 仅与被积函数与积分区间有关，与字母的 选取无关。即：,引例1：,引例2：,定理4.1：,定理4.2：,2、可积条件,3、几何意义,例1,所以,规定
3、：,性质1,性质2,性质3,4、定积分的性质,性质5,推论1,推论2,性质4,如：,性质6（估值定理）,证明：,性质7（定积分中值定理）,任何一个曲边梯形的面积，总有一个与它是 相同底的矩形与之面积相等（如下图）,几何上积分中值定理表示：,二、微积分学基本定理,（一）积分上限函数及其导数,积分上限函数具有以下性质：,该定理说明：,更进一步地：,证明： 利用定积分性质、变上限函数性质以及 复合函数求导法则证明。,解：,例2,证：,例3,注意：,例5,常记为：,方法：,（二）牛顿莱布尼兹公式,解：,例7,解：,例8,解：,例6,解：,例9,三、定积分的计算方法,由牛顿莱布尼兹公式可知，计算定积分的
4、 问题转化为求不定积分的问题。 上一章学习了不定积分的换元、分部积分法， 相应地，定积分也有换元、分部积分法。,1、换元积分法,注意：,例10,解：,解：,换元换限，不换元则不换限,例12,解：,注意：,证明：,例15,续,此结论广泛应用于以后的计算中。,2、定积分的分部积分法,于是，,例17,解：,解：,例18,四、定积分在几何中的应用,对于定积分的应用，关键在于微元法。 那么什么是微元法呢？ 简单地说，就是怎样把一个所求量表示 成定积分的分析方法。,回顾本章第一节中讨论的引例 ：,1、微元法,步骤：,为了便于应用，取消这里的下标 i ,同时,事实上，,即：,可见，,步骤：,例19,法1,2
5、、直角坐标系下平面图形的面积,法2,法1，如图,例20,法2，如图,由于所求面积具有对称性， 所以选取第一象限进行计算,解：,例21,一般地，求图形的面积通常有以下各种情形：,方法：上下,方法：右左,须拆分成两部分或多部分进行计算,选取积分变量，以可以进行积分运算、分割部 分区域尽量少为原则。,旋转体：,由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体.,圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成,如：,3、旋转体的体积,讨论：,同理：,注意：,解：,例22,解：,例23,五、定积分在其他方面的应用,要求一组离散数据的平均值并不难，比如一个 球队的平均身高、一个班的
6、平均成绩等等。 但对于一个连续函数来说，用这样的方法则不 行。比如要求一昼夜间的平均气温、变速直线 运动的平均速度、交流电在一个周期内的平均 电流等等。 这类问题也可以利用微元法的思想来解决。,1、函数的平均值,即有公式：,解：,例24,例25,讨论：,2、定积分在物理学中的应用,1)功,例26,即功的微元为,（待续）,所以,（续）,例27,（待续）,（续）,注意解题关键在于：,2)液体静压力,如果有一个面积为S的平板,水平放置在深为h处的液体 中,平板所受到的压力的方向垂直于平板的表面,大小为,如果平板垂直放置在液体中，由于深度不同，液体的 压强也就不同，平板一侧所受的压力就不能用上述方 法
7、来计算。,这仍然是一个定积分的应用问题。,底边为4米，高为3米的任意三角形薄板， 垂直地浸入水中，顶点在上，底边与水平面平 行，且底边距水平面4米(如图)。求此三角形 薄板单侧所受的压力。,例28,解：取水平面为 y 轴，取 x 轴垂直向下且过 三角形薄板顶点建立直角坐标系(如上图所示)。,（待续）,（续）,所以三角形薄板单侧所受的压力,（牛顿）,在一临床试验中，先让病人禁食，以便降 低体内的血糖含量，然后注射大量的葡萄糖，经 测定血液中胰岛素浓度符合下列函数：,例29,血液中胰岛素的平均浓度。,3、定积分在医学上的应用,4、定积分在经济学上的应用,例30,所以第一个五年的总产量为,第二个五年的总产量为,定义4.2,六、广义积分,1、无穷区间上的广义积分,类似地定义，,解,例31,解,例32,解,例33,定义4.5,2、含有无穷间断点函数的广义积分,类似地定义，,解,几何解释,例34,解,例35,
