《《概率论与数理统计》-牛莉-电子教案 第4章4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》-牛莉-电子教案 第4章4（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 大数定律和中心极限定理,4.1 大数定律 4.2 中心极限定理,4.1 大数定律,4.1.1 切比雪夫（Chebyshev）不等式,定理1（切比雪夫不等式）设随机变量,具有有限方差,，则对任一正数,，有,切比雪夫不等式的等价形式是,设想，取,，以及记,，于是有,可见，不管随机变量,服从什么分布，,落入区间,内的概率不小于,例1 已知随机变量,的期望,，方差,，试估计,的大小,解 因为,由切比雪夫不等式，得,即,4.1.2 切比雪夫大数定理,定理2（切比雪夫大数定理）假定,为两两相互独立的随机变量序列，且方差一致有上界， 即存在有限常数,使得,则对任一正数,有,推论（辛钦大数定理）设随机
2、变量 相互独立且服从同一分布,则,即: 个相互独立同分布的随机变量的算术平均值 以极大的可能性接近于它们的数学期望 .,4.1.3 伯努利大数定理,定理3（伯努利大数定理）假设事件 在一重伯努利试验中 发生的概率为 , 记随机变量 为A在n重伯努利试验中发生 的次数,则对于任一正数,，有,伯努利大数定理确切的数学含义是频率,将以概率1收敛于事件的概率 .,4.2 中心极限定理,4.2.1 独立同分布中心极限定理,定理4（独立同分布中心极限定理）设 相互独立同分布，且,则对一切实数,，有,例1 已知相互独立的随机变量,都在区间,试求这些随机变量总和的绝对值不超过10的概率,上服从均匀分布，,解
3、由均匀分布的题设可知,于是，对于它们的总和,，有,故,4.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,定理5（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设,相互独立且,则对任意一个,，总有,由此定理可知：当,可近似地用正态分布,充分大时，二项分布,来代替因此，当,且,充分大时，有,例2 每颗炮弹命中飞机的概率都为0.01 求：（1）500发炮弹命中5发的概率； （2）500发炮弹至少命中2发的概率,解 （1）500发炮弹命中飞机的炮弹数,下面用三种方法计算并加以比较 用二项分布计算,用泊松分布近似计算,用正态分布近似计算,比较上述结果可见，此时用泊松分布比用正态分布要好,（2）要求的是,用二项分布计算,用泊松分布近
4、似计算,用正态分布近似计算,例3 设一个车间有400台同类型的机器，每台机器工作 需要用电为 瓦由于工艺关系，每台机器并不连续开动， 开动的时间只占工作时间的,才能以99%的概率保证该车间的机器正常工作？ (这里，假定各台机器的停、开是相互独立的.),问应该供应多少瓦电力,解 令 为考虑的时刻正在开动的机器的台数那么 可以看作是400次相互独立的重复试验中事件“开动”出现的次数 在每次试验中，“开动”的概率为 .,因此，,由于 比较大，所以，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定 理，对于任一实数 ，有,现在，希望 查正态分布表，得满足这个等式的,为2.326因此,即,从而，只要供应320 瓦电力便能以99%的概率 保证该车间的机器正常工作,
