概率论与数理统计教学课件 李云龙 5.4大数定律+5.5中心极限定理

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1、5.4 大数定律,切比雪夫大数定律,是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每一个随机变量,定理 5-1(切比雪夫大数定律)设,都有有限方差,并且它们有公共上界,即,,那么对任意,有:,(65),证明:因为,两两不相关,故,再由切比雪夫不等式得,于是,当,所以,时有(6-5)成立,由此定理得证。,推论 5-1(辛钦大数定律)设,那么对任意,有:,(66),是独立同分布的随机变量序列,且,是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每一个随机变量,定理 5-1(切比雪夫大数定律)设,都有有限方差,并且它们有公共上界,即,,那么对任意,有:,(65),是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每一个随机变量,

2、定理 5-1(切比雪夫大数定律)设,都有有限方差,并且它们有公共上界,即,,那么对任意,有:,(55),定理 5-3(贝努利大数定律)设,是 n 次贝努利试验中,随机事件A出现的次数,p是随机事件A在每次试验中发生的概率,,那么对任意,有:,定义随机变量 Xk 如下:,假设,相互独立,则,而,定理 5-4(普阿松大数定律)在一个独立试验序列中,随,那么对任意,有:,机事件 A 在第 k 试验中发生的概率为,以,试验中随机事件 A 出现的次数,,记前 n 次,定义随机变量 Xk 如下:,是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每一个随机变量,定理 5-1(切比雪夫大数定律)设,都有有限方差,并且它

3、们有公共上界,即,,那么对任意,有:,(55),假设,相互独立,则,而,是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每一个随机变量,定理 5-1(切比雪夫大数定律)设,都有有限方差,并且它们有公共上界,即,,那么对任意,有:,(55),定理 5-3(贝努利大数定律)设,是 n 次贝努利试验中,随机事件A出现的次数,p是随机事件A在每次试验中发生的概率,,那么对任意,有:,简单说明为什么上式不能写为:,5.5 中心极限定理,一、林德贝格-勒维中心极限定理,设,是独立同分布的随机变量序列,且,令,所以,于是,定理 5-5(林德贝格-勒维中心极限定理)设,是独立同分布的随机变量序列,且,那么对任意实数 x

4、,总有:,也就是说,当,近似服从,证明 略。,定理5-5对离散型和连续型随机变量都是适用的。,例 5-1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是50克,标准差是5克,求一盒(100个)螺丝钉的重量超过5100克的概率。,解:设第 k 个螺丝钉的重量为,相互独立,并且,又设一盒重量为,根据定理 5-5 有:,例 5-2 某单位内部有260部电话分机,每个分机有4%的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的,问总机要有多少条外线,才能有95%的把握保证各个分机用外线时不必等候?,解:设,依题意,以,表示某一时刻同时使用外线的分机数,又假设,总机有 x 条外线。依题意,x 应当满足 :,也就

5、是,根据定理 5-5 有:,近似服从 N(0,1)分布,,例 5-2 某单位内部有260部电话分机,每个分机有4%的时间要使用外线。各分机是否使用外线是相互独立的,问总机要有多少条外线,才能有95%的把握保证各个分机用外线时不必等候?,解:,故,近似服从 N(0,1)分布,,查表得,将,代入上式得:,解得,取整数,所以总机至少需要16条外线。,例 5-3 售报员在报亭内售报,每个过路人在该处买报的概率是 1/3,令 X 是出售了100份报纸时过路人的总数,求,解:设第 k1 份报纸被买走之后,有过了,个人才买,第 k 份报纸,显然,近似地是独立同分布的,它的概率分布,为几何分布:,另外,根据定

6、理 5-5 有:,近似服从N(0,1),,故,二、德莫哇佛-拉普拉斯中心极限定理,我们知道,如果,且当 n 很大,而 p 很小,,np大小适中时,二项分布可由普阿松分布,来近似计算。,但是当 p 不是很小时,我们就无法用此方法。现在我们,通过中心极限定理,由,近似计算,将林德贝格-勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合,,很容易得到下面的定理:,将林德贝格-勒维中心极限定理应用到贝努里试验场合,,很容易得到下面的定理:,定理 5-6(德莫哇佛-拉普拉斯中心极限定理)设,是 n 次贝努利试验中随机事件 A 出现的次数,p是随机事,件 A 在每次试验中发生的概率,那么对任意实数 x,有,德莫哇佛-拉

7、普拉斯中心极限定理也就是说,如果随机,变量,那么,当 n 很大时,,近似服从 N(0,1)。,定理 5-5(林德贝格-勒维中心极限定理)设,是独立同分布的随机变量序列,且,那么对任意实数 x,总有:,例 5-4 假设某产品的正品率为80%,现抽查100件。 求: (1)抽出的次品数超过15件的概率; (2)以概率0.9保证查出的正品数与80的偏差范围是多少?,解:设 X 为抽出的正品数,则,其中 n=100,p=0.8,np=80,不适合用普阿松分布近似计算。,(1)次品数超过15件的概率,即,可用正态分布近似计算。即:,(2)依题意即要求满足下式的 使,所以,查表得,取整,即:,正态分布和普阿松分布作为二项分布的极限分布(即,近似分布),一般有以下特点:,

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