数字电子技术教学课件－范立南 第1章 逻辑代数基础

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1、,数字电子技术 第1章 逻辑代数基础,范立南 代红艳 恩莉 刘明丹 中国水利水电出版社,第1章 逻辑代数基础,1.1 概述 1.2 逻辑代数,物理量的分类：数字量和模拟量。 数字量：是指变化无论在时间上还是数值上都是离散的物理量。 模拟量：是指变化无论在时间上还是数值上都是连续的物理量。 数字信号：用于表示数字量的信号。 模拟信号：用于表示模拟量的信号。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。 本书主要研究数字电路的分析方法、设计方法及其应用,1.1 概述 1.1.1 数字电路和模拟电路,1.1.2 数制和码制,1.数制 数制：是指多位数码中每一位的构成

2、方法及低位向相邻高位的进位规则。 (1) 常用进制 十进制：由0、19十个数码组成，进位规则是逢十进一，计数基数为10，其按权展开式 例如：,二进制：由0、1两个数码组成，进位规则是逢二进一，计数基数为2，其按权展开式为。 例如： 八进制：由0、17八个数码组成，进位规则是逢八进一，计数基数为8，其按权展开式为。 例如：,十六进制：由0、19、A、BF十六个数码组成，进位规 则是逢十六进一，计数基数为16，其按权展开式 例如：,(2) 常用进制之间的转换 十进制转换成二进制的方法：整数部分除以2，取余数，读 数顺序从下往上；小数部分乘以2，取整数，读数顺序从上 至下。 例如：,十进制转换成八进

3、制的方法：整数部分除以8，取余数，读 数顺序从下往上；小数部分乘以8，取整数，读数顺序从上 至下。 例如：,十进制转换成十六进制的方法：整数部分除以16，取余数， 读数顺序从下往上；小数部分乘以8，取整数，读数顺序从上 至下。 例如：,二进制转换成十进制的方法：将二进制数按权展开后，按十 进制数相加。 例如： 八进制转换成十进制的方法：将八进制数按权展开后，按十 进制数相加。 例如：,十六进制转换成十进制的方法：将十六进制数按权展开后， 按十进制数相加。 例如： 二进制转换成八进制的方法：以小数点为分界，整数部分向 左、小数部分向右，每3位为一位，不足3位的补0，然后将 每个三位二进制数都用相

4、应的一位八进制数取代。 例如：,八进制转换成二进制的方法：以小数点为分界，将每位八进 制数分别用相应的三位二进制数取代。 例如： 二进制转换成十六进制的方法：以小数点为分界，整数部分 向左、小数部分向右，每4位为一位，不足4位的补0，然后 将每个四位二进制数都用相应的一位十六进制数取代。 例如： 十六进制转换成二进制的方法：以小数点为分界，将每位十 六进制数分别用相应的四位二进制数取代。 例如：,2.码制 码制：为了便于记忆和查找，在编制代码时所遵循的规则。 二-十进制编码：用四位二进制数中的任意十种组合来表示一 位十进制数，又称 BCD码。 常用的BCD码有：8421码、余3码、循环码、余3

5、循环码、 2421码、5421码和5211码等等，如表1-1所示：,表1-1 常用的BCD码,1.2 逻辑代数 1.2.1逻辑代数中的三种基本运算,1.与、或、非的定义 如图1-1所示，以开关A、B的状态作为条件，闭合表示条件 具备，断开表示条件不具备 ；以指示灯Z的状态作为结果， 灯亮表示结果发生，灯不亮表示结果不发生。,图1-1 指示灯控制电路,与：只有决定事情发生的全部条件同时具备时，结果才发 生，又称逻辑乘。 或：只要决定事情发生的全部条件至少具备一个时，结果就 发生，又称逻辑加。 非：条件具备时，结果不发生，条件不具备时，结果一定发 生，又称逻辑求反。,2与、或、非的真值表,表1-2

6、 与的真值表表 表1-3 或的真值表表 表1-4非的真值表,3与、或、非的逻辑运算符号 与： “ ” 或者省略。如：Z=AB或者Z=AB； 或 ：“+” 。如： Z=A+B； 非：变量上方的“ ”表示。如： 。,4与、或、非的逻辑符号,图1-2 与、或、非的逻辑符号,5复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或 与非的逻辑运算符号 ：,表1-5 与非的真值表,图1-3 与非的逻辑符号,或非的逻辑运算符号：,图1-4 或非的逻辑符号,表1-6 或非的真值表,与或非的逻辑运算符号是 ：,图1-5 与或非的逻辑符号,表1-7 与或非的真值表,异或运算的定义是输入相异，输出为1；输入相同，输出为 0

7、。其逻辑运算符号是 。,表1-8 异或的真值表,图1-6 异或的逻辑符号,同或运算的定义是输入相同，输出为1；输入相异，输出为 0。其逻辑运算符号是 。,表1-9 同或的真值表,图1-7同或的逻辑符号,1.2.2逻辑函数的表示方法,逻辑函数：当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之 而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。 逻辑函数的表示方法：逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图和 卡诺图。 1.逻辑函数的表示方法 （1）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取 值所构成的表格。列写方法是： a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示； b)逻辑赋值。 c)列真值表。,例如三人表决电路

8、，当输入变量A、B、C中有两个或两个以 上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。,表1-10三人表决电路的真值表,（2）逻辑函数式 逻辑函数式：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻 辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称 函数式或逻辑式。 例如：三人表决电路的逻辑函数式：,（3）逻辑图 逻辑图：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关 系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。 三人表决电路的逻辑图：,图1-8 三人表决电路的逻辑图,2逻辑函数表示方法之间的相互转换 （1）真值表 函数式 a)找出真值表中使函数值为1的输入变量取值； b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变

9、量取值为1，用 原变量表示，变量取值为0，用反变量表示。 c)将这些乘积项相加即可。,（2）函数式 真值表 首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出 来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数 值对应地填在表格右侧即可。 （3）函数式 逻辑图 将函数式转换成逻辑图的方法：从输入到输出分别用相应的 逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可。 （4）逻辑图 函数式 将逻辑图转换成函数式的方法：从输入到输出分别用相应的 逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。,3逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项和的形式 最小项：设m为包含n个因子的乘积项，且这n个因子以原变 量形式或者反变量

10、形式在m中出现且只出现一次，称m为n变 量的一个最小项。n变量共有个 最小项。 最小项的编号规则：使最小项m值为1 的输入变量取值所对 应的十进制数既为该最小项的编号，记作 。,表1-11 三变量的最小项编号表,最小项的性质： a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1； b)任意两个最小项之积为0； c)全体最小项之和为1； d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一 个不同因子。 将函数式化成最小项和的形式的方法为： 该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反 变量，展开即可。,例1-1 将函数式化成最小项和的形式。 解：,（2）最大项积的形式 最大

11、项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形 式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的 一个最大项。n变量共有 个最大项。 最大项的编号规则：使最大项M值为0 的输入变量取值所对 应的十进制数既是最大项的编号，记作 。,表1-12 三变量的最大项编号表,最大项的性质： a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0； b)任意两个最大项之和为1； c)全体最大项之积为0； d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。 将函数式化成最大项积的形式的方法为：首先化成最小项和的 形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形 式。,例1-

12、2 将函数式化成最大项积的形式。 解：,1.2.3 逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理,1. 18个基本公式,2. 5个常用公式,3. 3个基本定理 代入定理：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函 数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 反演定理：在一个逻辑式 中,若将其中所有的“+”变成“”，“” 变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，原变量变成反变量，反 变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记 作： 。 注意： a）运算的优先顺序。 b）不是单个变量上的非号应保留不变。,例1-3 试用反演定理求函数式 的反逻辑 式。 解： 对偶式：在一个逻辑式

13、 中,若将其中所有的“+”变成“”， “”变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，所得函数式即为原 函数式的对偶式，记作： 。 对偶定理：若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。 例1- 4 试求函数式 的对偶式。 解：,1.2.4逻辑函数的公式化简法,1逻辑函数式的八种类型 与-或式、与非-与非式、或-与非式、或非-或式、与或非 式、与非-与式、或-与式、或非-或非式。 与或式 与非-与非式：将与或式两次求反，并用一次 德摩根定理即可。 例1-5 试将函数式 转换成与非-与非 式。 解：,与或式 与或非式：先将与或式化成最小项和的形式，然 后直接写成除了这些最小项编号以外的那些

14、编号的最小项的 或非形式。 例1-6 试将函数式 转换成与或非式。 解：,3逻辑函数的公式化简法：是指熟练运用所学基本公式和 常用公式，将一个函数式化成最简形式。 与或式最简形式的标准是：该与或式中包含的乘积项的个数 不能再减少，且每个乘积项所包含的因子数也不能再减少。 常用公式化简法：并项法、吸收法、消因子法、消项法 、配项法。,并项法： 例如：,吸收法： 例如： 消因子法： 例如：,消项法： 和 。 例如： 配项法： 或 。 例如：,1.2.5逻辑函数的卡诺图化简法,1变量的卡诺图：用个小方块表示n变量的全部最小项，并 使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起 来，所得图形称为n

15、变量的卡诺图。,图1-9二变量卡诺图,图1-10三变量卡诺图,图1-12五变量卡诺图,图1-11四变量卡诺图,2逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换 函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形 式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置 处填1，其余位置处填0。 例1-7 试画出逻辑函数 的卡诺图。 解：,由卡诺图写函数式的方法：将卡诺图中所有填1的小方块所 表示的最小项相加即可得到相应的函数式。 例1-8 卡诺图如图1-13所示，要求写出其函数式。 解：,图1-13例1-12的卡诺图,解：,3一般逻辑函数的卡诺图化简 卡诺图化简法：是指利用卡诺图对逻辑函数进行化简。 （1）合并最小项规则 a)具有逻辑相邻性的2个最小项相加，可合并为1项，消去1 对不同因子，保留公共因子。 b)具有逻辑相邻性的4个最小项相加，且组成矩形组，可合 并为1项，消去2对不同因子，保留公共因子。 c)具有逻辑相邻性的8个最小项相加，且组成矩形组，可合并 为1项，消去3对不同因子，保留公共因子。 d)具有逻辑相邻性的个最小项相加，且组成矩形组，可合并为一项，消去n对不同因子，保留公共因子。,卡诺