计量经济学 教学课件 ppt 作者 林清泉 著 课后习题 第五章

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1、 第五章 多元线性回归 第一部分 学习目的和要求本章主要介绍了多元线性回归模型的内容。需要掌握并理解以下问题:(1)掌握经典多元线性回归的概念及模型、线性模型的假设条件。(2)掌握参数的最小平方估计法。(3)了解向量函数微分的概念。(4)掌握参数的估计量的分布及其性质。(5)了解概率极限的概念及性质。(6)掌握参数的无偏估计,极大似然估计,一致估计。(7)掌握参数的假设检验方法,包括单一线性约束的显著性检验和一般线性假设的检验。(8)掌握参数的区间估计方法,包括参数向量的区间估计,单个参数的区间估计,几个参数的区间估计。(9)掌握总体均值的预测,包括点预测和区间预测。掌握总体特定值的预测和区间

2、预测。第二部分 练习题一术语解释1多元线性回归模型2多元线性回归的Gauss-Markov定理3概率极限4多元线性回归的极大似然估计5单一线性约束的显著性检验和线性相关显著性检验二问答1多元线性回归模型的假设条件是什么?2求系数的最小二乘估计时,是否需要多元线性模型的假设条件?3参数和的最小二乘估计是什么?4参数和的极大似然估计是它们的无偏估计吗?5概率极限与通常所说的极限有什么不同?6试说明一般线性假设的检验包含了单一线性约束的显著性检验。7试说明线性回归模型方差分析中的实际意义。三、计算证明题1建立一个多元线性回归模型: 对其中的自变量建立另外一个多元线性回归模型: 得到回归残差,最后建立

3、回归模型: 证明:2对模型应用最小二乘法,得到回归方程: 证明:残差与不相关,即3设有模型,应用OLS法,得回归方程:证明:4考虑以下方程(括号内为估计标准差) (0.080) (0.072) =19,=0.873;其中:年的销售量 年的广告费用请回答下列问题:(1)对销售量估计的斜率系数进行假设检验。(2)讨论在理论上是否正确,对本模型的正确性进行讨论。是否应从方程中删除?为什么?5已知线性回归模型式中,且(为样本量,为参数个数),由二次型的最小化得到如下线性方程组:;请回答以下问题:(1)把问题写成矩阵向量的形式,用求逆矩阵的方法求解。(2)如果,求。(3)求出的方差协方差矩阵。6为了确定

4、对空调价格的影响因素,B.T.katchford根据19个样本数据得到的回归结果如下: , (0.005) (8.992) (3.082)其中:空调的价格/美元 空调的BTU比率 能量效率 设定数(1)解释这个回归方程式的回归结果。(2)该回归结果是否有经济意义?(3)在显著水平下,进行下述检验,零假设:BTU比率对空调的价格无影响,备择假设检验:BTU比率对价格有正向影响。(4)通过详细的计算检验下述零假设:三个解释变量在很大程度上解释了空调价格的变动。7根据美国1965-Q至1983-Q数据(),James Doti与Esmael Adibi得到下面的回归方程以解释美国个人的消费支出(PC

5、E):(-3.33)(249.06) (-3.09) 其中:个人消费支出/亿美元 可支配(税后)收入/亿美元 银行支付的主要利率(%)(1)求边际消费倾向(MPC)-每额外增加1美元个人可支配收入所增加的消费支出的数量。(2)解释模型的经济意义。(3)通过计算检验下述零假设:MPC显著不为1。(4)检验零假设:显著不为零。(5)检验假设:。(6)计算每个系数的标准差。8设模型为,的观察值如表一,试用OLS法对该模型进行多元线性回归分析。 335114856324546 第三部分 参考答案一术语解释1多元线性回归模型: 设是的线性函数,则模型为: (1)其中,为随机变量。为常数项,它反映了度量原

6、点的选定。称为回归系数,它反映了变动一个单位时的改变量。给定的次观察值: ,其中,是变量的第次观测值,其中表示随机误差项在第次观察中所取的值。记,则多元线性回归模型有矩阵形式:。2多元线性回归的Gauss-Markov定理:在满足多元线性回归模型的基本假设条件下,该基本假设条件包括Gauss-Markov假定,即 ,称具有方差齐性; ,这称没有序列相关。在满足上面假定下,在的所有线性无偏估计类中,其OLS估计的的方差最小,即OLS估计的是的最优线性无偏估计(BLUE),这称为多元线性回归的Gauss-Markov定理。3概率极限:设是参数的一个估计值,如果,即对任意小的正数及存在一样本容量,当

7、时,有,则称依概率收敛于,即是的概率极限,也可以说,是的一致估计,记为:。4多元线性回归的极大似然估计:多元线性回归模型,中参数向量的极大似然估计,记,则的联合概率密度函数为: 即似然函数为:按照参数极大似然估计的定义,取与使成立,则称与为及的极大似然估计。解得5单一线性约束的显著性检验和线性相关显著性检验:单一线性约束的显著性检验:设已选定变量,需要考虑其中某个变量对解释作用的大小。这类问题可归结为对假设的检验,如果拒绝,则认为对有显著的解释作用,应将保留在模型中;如果接受,则认为对的影响不大,从模型中去掉并不影响模型的功效。设已对参数进行了估计,如,如果对此结果持怀疑态度,则可检验假设。这

8、两个假设都是假设的特殊情况,其中是阶矩阵,若取的第个元素为1,其余的元素为0,所得假设就是;若取的第个元素为1,其余的元素为0,则也是的特例。线性相关的显著性检验:设对模型估计后得出估计值,如果对于,则经验回归方程没有价值。因此考虑假设的检验问题。如果接受,则说明与没有显著的线性关系。它们之间可能存在非线性关系,或虽为线性关系,但漏掉了重要的解释变量。如果拒绝,说明它们之间有显著的线性关系,回归方程有一定的价值。二问答题1多元线性回归模型的假设条件是什么?答:多元线性回归模型的基本假定是: (1)关于矩阵的假定:是确定的列数值矩阵,矩阵的秩。假设是确定的列数值矩阵有两层含义:是非随机变量或是可

9、观测变量,更一般的要求是与不相关,即,从而。它们所取的值是可以控制的,是误差的唯一来源。是确定的数值,在变量中没有遗漏重要的变量也没有包含不相干的变量。关于矩阵的秩,因为矩阵的秩为,所以的列向量线性无关,因而没有一个变量可以由其他变量表示,此时秩,即非奇异。且当时,待估参数的个数小于观测次数。 (2)关于随机扰动项的假定:服从均值为协方差矩阵为的多维正态分布,即。该式有两层含义: 即每一个随机扰动项的期望都为0; ,它包括Gauss-Markov假定,即,称具有方差齐性; ,这称没有序列相关。2求系数的最小二乘估计时,是否需要多元线性模型的假设条件?答:对系数的最小二乘估计时,需要多元线性模型

10、的假设条件。由 可知,有关矩阵的假定:是确定的列数值矩阵,矩阵的秩需要满足,此时系数的估计值有且仅有唯一解。若,即奇异,不能得到估计量。3参数和的最小二乘估计是什么?答:给定线性模型,记未知参数变量的估计量为,称为估计的残差向量,则残差平方和为,我们的目的是寻找的估计量,使得残差达到最小。由于残差是非负的,故存在最小值,且由极值存在的必要条件,有,通过矩阵微分运算可以解得,称该式为正规方程组。又因为可逆,所以,称此估计量为的最小二乘估计量。的最小二乘估计为。4参数和的极大似然估计是它们的无偏估计吗?答:多元线性回归模型,中参数向量的极大似然估计,记,则的联合概率密度函数为: 即似然函数为:按照

11、参数极大似然估计的定义,取与使成立,则称与为及的极大似然估计。解得,可见的MLE估计和OLS估计相同。由于是的无偏估计量,可见的MLE估计是有偏的,其中。5概率极限与通常所说的极限有什么不同?答:概率极限的意义是:设是参数的一个估计值,如果,即对任意小的正数及存在一样本容量,当时,有,则称依概率收敛于,即是的概率极限。通常意义下的极限是指:设是参数的一个估计值,如果,即对任意小的正数存在一样本容量,当时,有,则称的极限是。 对比通常意义下的极限定义和概率极限的定义可以看出,概率极限的定义是建立在概率基础之上。6试说明一般线性假设的检验包含了单一线性约束的显著性检验。答:一般线性假设检验是假设,

12、其中是阶矩阵,是阶矩阵,则假设是对所施加的个线性约束。单一线性约束的显著性检验是设已选定变量,需要考虑其中某个变量对解释作用的大小。这类问题可归结为对假设的检验,如果拒绝,则认为对有显著的解释作用,应将保留在模型中;如果接受,则认为对的影响不大,从模型中去掉并不影响模型的功效。设已对参数进行了估计,如,如果对此结果持怀疑态度,则可检验假设。这两个假设都是一般线性假设检验的特殊情况,其中是阶矩阵,若取的第个元素为1,其余的元素为0,所得假设就是;若取的第个元素为1,其余的元素为0,则也是的特例。7试说明线性回归模型方差分析中的实际意义。答:称为总偏差平方和,其中,考虑的分解,记,其中为残差平方和

13、,它反映了除去与之间线性关系以外的一切因素所引起的数据的波动;为回归平方和,它反映了由变量与的线性关系引起的波动。由于表示与线性相关的部分,所以当与线性相关程度较高时,比值应该较大。因此,定义为判断系数,因此,可以把作为衡量与线性相关显著程度的度量指标,越接近于1,它们之间的线性关系越显著。三、计算证明题1证明:由式的回归模型:,对其进行回归估计得:,代入最后的模型 ,得: 将这个结果与模型 相比可知:。原因是代表的是与无关的部分,所以的回归系数不受影响。2证明:将该回归方程两边乘以再求和得:由多元线性回归模型的基本假设可知:所以有:,即与不相关。3证明:由回归方程知:因为 将代入回归方程得:

14、 对该式两端分别求和: 其中 所以有 即 4答:(1)对给定在5%的显著水平,可以进行检验得到结果如下表:系数假设符号+T值 4.550.0565%显著水平显著不显著 (2)由于不显著,可以将其从方程中删去,此时由于时滞短了一年,主成分可能正确,但时滞长度不正确。在这样的情况下,利用同样的数据检验许多不同的时滞,可能不是个好方法,但如果可以建立另外一个数据集,这样检验也许是有用的。5答:(1)方程组的矩阵向量形式可以写成:;即,即;(2) (3)的方差协方差矩阵:6答:(1)该模型的回归结果表明空调价格与BTU比率、能量效率、设定数有关,相关系数分别为0.023,19.729,7.653。 (2)该回归结果的经济意义在于揭示了影响空调价格的因素,表明空调价格与BTU比率、能量效率、设定数有关,相关系数分别为0.023,19.729,7.653。 (3),d.f.=15,查表得的临界值为1.753 拒绝零假设,

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