《计量经济学 教学课件 ppt 作者 林清泉 著 课后习题 第五章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计量经济学 教学课件 ppt 作者 林清泉 著 课后习题 第五章（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第五章 多元线性回归 第一部分 学习目的和要求本章主要介绍了多元线性回归模型的内容。需要掌握并理解以下问题：（1）掌握经典多元线性回归的概念及模型、线性模型的假设条件。（2）掌握参数的最小平方估计法。（3）了解向量函数微分的概念。（4）掌握参数的估计量的分布及其性质。（5）了解概率极限的概念及性质。（6）掌握参数的无偏估计，极大似然估计，一致估计。（7）掌握参数的假设检验方法，包括单一线性约束的显著性检验和一般线性假设的检验。（8）掌握参数的区间估计方法，包括参数向量的区间估计，单个参数的区间估计，几个参数的区间估计。（9）掌握总体均值的预测，包括点预测和区间预测。掌握总体特定值的预测和区间
2、预测。第二部分 练习题一术语解释1多元线性回归模型2多元线性回归的Gauss-Markov定理3概率极限4多元线性回归的极大似然估计5单一线性约束的显著性检验和线性相关显著性检验二问答1多元线性回归模型的假设条件是什么？2求系数的最小二乘估计时，是否需要多元线性模型的假设条件？3参数和的最小二乘估计是什么？4参数和的极大似然估计是它们的无偏估计吗？5概率极限与通常所说的极限有什么不同？6试说明一般线性假设的检验包含了单一线性约束的显著性检验。7试说明线性回归模型方差分析中的实际意义。三、计算证明题1建立一个多元线性回归模型： 对其中的自变量建立另外一个多元线性回归模型： 得到回归残差，最后建立
3、回归模型： 证明：2对模型应用最小二乘法，得到回归方程： 证明：残差与不相关，即3设有模型，应用OLS法，得回归方程：证明：4考虑以下方程（括号内为估计标准差） （0.080） （0.072） =19，=0.873；其中：年的销售量 年的广告费用请回答下列问题：（1）对销售量估计的斜率系数进行假设检验。（2）讨论在理论上是否正确，对本模型的正确性进行讨论。是否应从方程中删除？为什么？5已知线性回归模型式中，且（为样本量，为参数个数），由二次型的最小化得到如下线性方程组：；请回答以下问题：（1）把问题写成矩阵向量的形式，用求逆矩阵的方法求解。（2）如果，求。（3）求出的方差协方差矩阵。6为了确定
4、对空调价格的影响因素，B.T.katchford根据19个样本数据得到的回归结果如下： ， （0.005） （8.992） （3.082）其中：空调的价格/美元 空调的BTU比率 能量效率 设定数（1）解释这个回归方程式的回归结果。（2）该回归结果是否有经济意义？（3）在显著水平下，进行下述检验，零假设：BTU比率对空调的价格无影响，备择假设检验：BTU比率对价格有正向影响。（4）通过详细的计算检验下述零假设：三个解释变量在很大程度上解释了空调价格的变动。7根据美国1965-Q至1983-Q数据（），James Doti与Esmael Adibi得到下面的回归方程以解释美国个人的消费支出（PC
5、E）：（-3.33）（249.06） （-3.09） 其中：个人消费支出/亿美元 可支配（税后）收入/亿美元 银行支付的主要利率（%）（1）求边际消费倾向（MPC）-每额外增加1美元个人可支配收入所增加的消费支出的数量。（2）解释模型的经济意义。（3）通过计算检验下述零假设：MPC显著不为1。（4）检验零假设：显著不为零。（5）检验假设：。（6）计算每个系数的标准差。8设模型为，的观察值如表一，试用OLS法对该模型进行多元线性回归分析。 335114856324546 第三部分 参考答案一术语解释1多元线性回归模型： 设是的线性函数，则模型为： （1）其中，为随机变量。为常数项，它反映了度量原
6、点的选定。称为回归系数，它反映了变动一个单位时的改变量。给定的次观察值： ，其中，是变量的第次观测值，其中表示随机误差项在第次观察中所取的值。记，则多元线性回归模型有矩阵形式：。2多元线性回归的Gauss-Markov定理：在满足多元线性回归模型的基本假设条件下，该基本假设条件包括Gauss-Markov假定，即 ,称具有方差齐性； ，这称没有序列相关。在满足上面假定下，在的所有线性无偏估计类中，其OLS估计的的方差最小，即OLS估计的是的最优线性无偏估计（BLUE），这称为多元线性回归的Gauss-Markov定理。3概率极限：设是参数的一个估计值，如果，即对任意小的正数及存在一样本容量，当
7、时，有，则称依概率收敛于，即是的概率极限，也可以说，是的一致估计，记为：。4多元线性回归的极大似然估计：多元线性回归模型，中参数向量的极大似然估计，记，则的联合概率密度函数为： 即似然函数为：按照参数极大似然估计的定义，取与使成立，则称与为及的极大似然估计。解得5单一线性约束的显著性检验和线性相关显著性检验：单一线性约束的显著性检验：设已选定变量，需要考虑其中某个变量对解释作用的大小。这类问题可归结为对假设的检验，如果拒绝，则认为对有显著的解释作用，应将保留在模型中；如果接受，则认为对的影响不大，从模型中去掉并不影响模型的功效。设已对参数进行了估计，如，如果对此结果持怀疑态度，则可检验假设。这
8、两个假设都是假设的特殊情况，其中是阶矩阵，若取的第个元素为1，其余的元素为0，所得假设就是；若取的第个元素为1，其余的元素为0，则也是的特例。线性相关的显著性检验：设对模型估计后得出估计值，如果对于，则经验回归方程没有价值。因此考虑假设的检验问题。如果接受，则说明与没有显著的线性关系。它们之间可能存在非线性关系，或虽为线性关系，但漏掉了重要的解释变量。如果拒绝，说明它们之间有显著的线性关系，回归方程有一定的价值。二问答题1多元线性回归模型的假设条件是什么？答：多元线性回归模型的基本假定是： （1）关于矩阵的假定：是确定的列数值矩阵，矩阵的秩。假设是确定的列数值矩阵有两层含义：是非随机变量或是可
9、观测变量，更一般的要求是与不相关，即，从而。它们所取的值是可以控制的，是误差的唯一来源。是确定的数值，在变量中没有遗漏重要的变量也没有包含不相干的变量。关于矩阵的秩，因为矩阵的秩为，所以的列向量线性无关，因而没有一个变量可以由其他变量表示，此时秩，即非奇异。且当时，待估参数的个数小于观测次数。 （2）关于随机扰动项的假定：服从均值为协方差矩阵为的多维正态分布，即。该式有两层含义： 即每一个随机扰动项的期望都为0； ，它包括Gauss-Markov假定，即,称具有方差齐性； ，这称没有序列相关。2求系数的最小二乘估计时，是否需要多元线性模型的假设条件？答：对系数的最小二乘估计时，需要多元线性模型
10、的假设条件。由 可知，有关矩阵的假定：是确定的列数值矩阵，矩阵的秩需要满足，此时系数的估计值有且仅有唯一解。若，即奇异，不能得到估计量。3参数和的最小二乘估计是什么？答：给定线性模型，记未知参数变量的估计量为，称为估计的残差向量，则残差平方和为，我们的目的是寻找的估计量，使得残差达到最小。由于残差是非负的，故存在最小值，且由极值存在的必要条件，有，通过矩阵微分运算可以解得，称该式为正规方程组。又因为可逆，所以，称此估计量为的最小二乘估计量。的最小二乘估计为。4参数和的极大似然估计是它们的无偏估计吗？答：多元线性回归模型，中参数向量的极大似然估计，记，则的联合概率密度函数为： 即似然函数为：按照
11、参数极大似然估计的定义，取与使成立，则称与为及的极大似然估计。解得，可见的MLE估计和OLS估计相同。由于是的无偏估计量，可见的MLE估计是有偏的，其中。5概率极限与通常所说的极限有什么不同？答：概率极限的意义是：设是参数的一个估计值，如果，即对任意小的正数及存在一样本容量，当时，有，则称依概率收敛于，即是的概率极限。通常意义下的极限是指：设是参数的一个估计值，如果，即对任意小的正数存在一样本容量，当时，有，则称的极限是。 对比通常意义下的极限定义和概率极限的定义可以看出，概率极限的定义是建立在概率基础之上。6试说明一般线性假设的检验包含了单一线性约束的显著性检验。答：一般线性假设检验是假设，
12、其中是阶矩阵，是阶矩阵，则假设是对所施加的个线性约束。单一线性约束的显著性检验是设已选定变量，需要考虑其中某个变量对解释作用的大小。这类问题可归结为对假设的检验，如果拒绝，则认为对有显著的解释作用，应将保留在模型中；如果接受，则认为对的影响不大，从模型中去掉并不影响模型的功效。设已对参数进行了估计，如，如果对此结果持怀疑态度，则可检验假设。这两个假设都是一般线性假设检验的特殊情况，其中是阶矩阵，若取的第个元素为1，其余的元素为0，所得假设就是；若取的第个元素为1，其余的元素为0，则也是的特例。7试说明线性回归模型方差分析中的实际意义。答：称为总偏差平方和，其中，考虑的分解，记，其中为残差平方和
13、，它反映了除去与之间线性关系以外的一切因素所引起的数据的波动；为回归平方和，它反映了由变量与的线性关系引起的波动。由于表示与线性相关的部分，所以当与线性相关程度较高时，比值应该较大。因此，定义为判断系数，因此，可以把作为衡量与线性相关显著程度的度量指标，越接近于1，它们之间的线性关系越显著。三、计算证明题1证明：由式的回归模型：，对其进行回归估计得：，代入最后的模型 ，得： 将这个结果与模型 相比可知：。原因是代表的是与无关的部分，所以的回归系数不受影响。2证明：将该回归方程两边乘以再求和得：由多元线性回归模型的基本假设可知：所以有：，即与不相关。3证明：由回归方程知：因为 将代入回归方程得：
14、 对该式两端分别求和： 其中 所以有 即 4答：（1）对给定在5%的显著水平，可以进行检验得到结果如下表：系数假设符号+T值 4.550.0565%显著水平显著不显著 （2）由于不显著，可以将其从方程中删去，此时由于时滞短了一年，主成分可能正确，但时滞长度不正确。在这样的情况下，利用同样的数据检验许多不同的时滞，可能不是个好方法，但如果可以建立另外一个数据集，这样检验也许是有用的。5答：（1）方程组的矩阵向量形式可以写成：；即，即；（2） （3）的方差协方差矩阵：6答：（1）该模型的回归结果表明空调价格与BTU比率、能量效率、设定数有关，相关系数分别为0.023，19.729，7.653。 （2）该回归结果的经济意义在于揭示了影响空调价格的因素，表明空调价格与BTU比率、能量效率、设定数有关，相关系数分别为0.023，19.729，7.653。 （3），d.f.=15，查表得的临界值为1.753 拒绝零假设，
