《2020版高考数学总复习 第三篇 三角函数、解三角形（必修4、必修5）第6节 正弦定理和余弦定理及其应用应用能力提升 理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学总复习 第三篇 三角函数、解三角形（必修4、必修5）第6节 正弦定理和余弦定理及其应用应用能力提升 理（含解析）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形2,3,4,5与面积相关的问题1,8,9实际应用问题6,10综合问题7,11,12,13,14,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60,a=,b+c=3,则ABC的面积为(A)(A)(B)(C)(D)2解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,所以代入可得3=9-3bc,从而解得bc=2,所以SABC=bcsin A=2=,故选A.2.在ABC中,AB=2,AC=2,C=,则BC等于(B)(A)2 (
2、B)4(C)+(D)-解析:设BC=x,由余弦定理,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,得12=4+x2-22x,x2-2x-8=0,x=4或x=-2(舍去).故选B.3.(2016天津卷)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC等于(A)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,13=AC2+9-2AC3(-),AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.4.(2018郑州质检)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意
3、及正弦定理有sin A=sin B,又因为A=2B,所以sin A=sin 2B,则sin B=sin 2B,即sin B=2sin Bcos B,因为sin B0,所以cos B=,故选B.5.(2018江西南昌二模)已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcos C=c(1-3cos B),则sin Csin A等于(C)(A)23(B)43(C)31(D)32解析:由正弦定理得3sin Bcos C=sin C-3sin Ccos B,3sin(B+C)=sin C,因为A+B+C=,所以B+C=-A,所以3sin A=sin C,所以sin Csin A=31,选C.
4、6. (2017甘肃一模)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45,在D点测得塔顶的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40 m,则电视塔的高度是(B)(A)30 m(B)40 m(C)40 m(D)40 m解析:由题意,设AB=x m,则BD=x m,BC=x m,在DBC中,BCD=120,CD=40 m,根据余弦定理,得BD2=CD2+BC2-2CDBCcosDCB,即(x)2=402+x2-240xcos 120,整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍),即所求电视塔的高度为40 m.故选B.7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b
5、,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理及已知,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,即sin(-A)=sin2A,sin A=sin2A.因为A(0,),所以sin A0,所以sin A=1,即A=,故选B.8.(2018合肥一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则ABC的外接圆面积为(C)(A)4(B)8(C)9(D)36解析:已知bcos A+acos B=2,由正弦
6、定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R为ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2Rsin C=2,因为cos C=,所以sin C=,所以R=3.故ABC的外接圆面积为9.故选C.9.在ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b-c=2,cos A=-, 则a 的值为.解析:因为cos A=-,0A1,所以x-10,因此y=-=-=x+1+,所以y=(x-1)+2+2,当且仅当x-1=时,取“=”号,即x=1+时,y有最小值2+.故选D.11.(2018广西南宁三校联考)在ABC中,a,b,c分别
7、是三个内角A,B,C的对边,已知b=2,cos A=.(1)若ABC的面积S=3,求a;(2)若ABC是直角三角形,求a与c.解:(1)因为cos A=,所以sin A=.因为bcsin A=3,所以c=5.所以a=.(2)若B=90,则a=bsin A=,c=bcos A=;若C=90,则c=,a=csin A=.12.(2018海南省八校联考)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,B=,bsin C=2sin B.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解:(1)因为bsin C=2sin B,所以由正弦定理得bc=2b,即c=2,由余弦定理得b2=22+42-224c
8、os =28.所以b=2.(2)因为a=4,c=2,B=.所以SABC=acsin B=42=2.13.(2018广东省珠海市九月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,满足cos2B+cos2C-cos2A=1-sin Bsin C.(1)求角A的大小;(2)若a=1,B=,求ABC的面积.解:(1)由cos2B+cos2C-cos2A=1-sin Bsin C得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,即b2+c2-a2=bc,cos A=.故A=.(2)若B=,则由A=知C=.故ABC是C为直角的直角三角形,因为a=1,所以b=,所以ABC的面积为.14.
9、(2018河北石家庄二中八月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2a+c)cos B+bcos C=0.(1)求B;(2)若a=3,点D在AC边上且BDAC,BD=,求c.解:(1)由(2a+c)cos B+bcos C=0及正弦定理,可得2sin Acos B+sin Ccos B+sin Bcos C=0,即2sin Acos B+sin (B+C)=0,由A+B+C=可得sin (B+C)=sin A,所以sin A(2cos B+1)=0,因为0A,sin A0,所以cos B=-,因为B(0,),所以B=.(2)由B=得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,
10、又因为BDAC,所以三角形ABC的面积S=acsin B=bBD,把a=3,B=,BD=,代入得b=c,所以()2=c2+3c+9,解得c=5.15.(2017天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解:(1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B=.由(1)知,A为钝角,所以cos B=.于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=(-)-=-.- 8 -
