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1、第一章 函数的极限与连续,第一节 函数及其性质,第二节 极限,第三节 函数的连续性,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,第 二 节 极 限,一.极限的概念,二.无穷小与无穷大,本节主要内容:,三.极限的运算,四.两个重要极限,五.无穷小阶的比较,3,一、极限的概念,(一) 数列的极限,1 . 数列,自变量为正整数的函数un=f (n) (n=1,2, ),其函数值按自变量n由小到大排列成一列 u1, u2, u3, , un , , 这一序列叫做数列, 记为un, 其中第n项un叫做数列的一般项.,4,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-
2、1)n+1, .,数列举例:,5,观察数列：,6,?,7,定义1. 2. 1 对数列un,当项数n无限增大时，通项un无限接近于某个常数A，则称A是数列un的极限，或称数列un 收敛于A，记作,2 . 数列的极限,若数列un没有极限，则称数列un是发散的,8,例1 观察下列数列的变化趋势，并求出数列的极限：,解,不存在.,9,1. 可在数轴上直观表示为,(,),说明：,2. 由图上可直观地看出,10,4.发散有两种情况,即n时,相应项|un|无限增大;,在两个或多个数值之间跳动.,强调极限符号的书写规范！,即:,11,单调有界准则,定理1. 2. 1,递增有上界的数列必收敛 递减有下界的数列必
3、收敛,单调有界数 列必有极限,12,13,情形一:自变量|x|无限增大，即,情形二:自变量x趋于有限值x0, 即,(二)函数的极限,时, 函数值 f (x) 的变化趋势.,时,函数值 f (x) 的变化趋势.,14,1. x时函数 y = f (x) 的极限,定义1. 2. 2 如果当x （即|x|无限增大）时，函数 f(x) 无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为当x时函数 f(x) 的极限，记作,15,定义1. 2. 3 如果当x+ 时，函数 f (x) 无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为当,定义1. 2. 4 如果当x- 时，函数 f (x) 无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为当
4、,定理1. 2. 2,x +时函数 f (x) 的极限,记作:,x -时函数 f (x) 的极限,记作:,16,例2 讨论函数,所以,解,当x 时的极限,17,例3 讨论函数 y = arctanx 和 y = arccotx 当x 时的极限,所以 不存在,所以 不存在,解,18,x x0,x x0-,表示x从x0的左半邻域趋近于x0,x x0+,表示x从x0的右半邻域趋近于x0,2. x x0 时函数 y = f (x) 的极限,19,定义1. 2. 5 设函数f (x)在x0的某一去心邻域 内有定义，当自变量x在 内无限接近于x0时，相应的函数值无限接近于常数A，则称A为x x0时函数f(
5、x)的极限, 记作,20,说明：,是否存在与f (x)在点x0处是否有定义无关,(1),21,可以认为xx0时隐含条件 x x0 。,例如：求,解：因为,所以,22,几个结论：,即常数的极限是常数本身。,关于三角函数的结论：,(1),(2),(3),(4),23,观察函数,当x 0 时函数的极限如何？,单侧极限,x从0 的左半邻域趋近于0,与x从0的右半邻域趋近于0时,函数值的趋势不同!,24,定义1. 2. 6 如果当x x0-时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为x x0时函数f(x)的,定义1. 2. 7 如果当x x0+时，函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，则称
6、A为x x0时函数f(x)的,定理1. 2. 3,左极限，记作:,或,右极限，记作:,或,25,例4 已知,即,所以,解,注意: 求分段函数在分界点处的极限,分界点左右关系式不同时,一般需考虑左右极限!,求,因为,26,该函数可以表示为分段函数：,例5 讨论函数,于是,即,所以 不存在.,解,当x0时的极限,27,（三）极限的性质,性质1 ( 极限的唯一性 ) ：,性质2 ( 极限点 邻近的有界性 ) ：,则 A = B.,若,28,性质3（极限点x0邻近的保号性）： 若 且 A 0 ( 或A0 ( 或 f (x) 0 ).,推论： 若在某个 内 f (x) 0 （或 f (x) 0 ）, 且
7、 则 A 0 （或 A 0 ）,29,30,定义1. 2. 8 如果函数 y= f (x) 当 x x0 (或 x)时的极限为零，则称函数y= f (x)为 x x0 (或x ) 时的无穷小量，简称无穷小,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小.,二、无穷大与无穷小,（一）无穷小的定义,31,如果当n时，数列xn 的极限为0，则称 xn当n时是无穷小。,问：无穷小是否为很小的数？绝对值很小的常数是否为无穷小？,注 意: (1) 无穷小是极限为零的变量,不要把绝对值很小的非零常数误以为是无穷小;,32,当x时为无穷小，,但当x1时不是无穷小,(3) 一般来说，无穷小都是相对于自变
8、量的某个变化过程而言的例如,当x1时为无穷小，,但在其他趋势下不是无穷小,当x0-时为无穷小，,(x1),是无穷小,是无穷小,是无穷小,(2) 常数零是唯一可作为无穷小的常数.,33,例6 自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小:,(1)因为 所以当x时， 为无穷小.,解,(2)因为 所以当x 时，2 x - 1 为无穷小.,34,(4) 因为 所以当x +时， 为无穷小.,(3) 因为 所以当 时， 为 无穷小.,35,（二）极限与无穷小之间的关系,若记a (x)= f (x)-A,则有f (x) =A+a (x).,定理1. 2. 4,其中(x)是xx0时的无穷小,36,(1) 将一
9、般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,(2) 给出了函数 f (x) 在 x0 附近的近似表达式 f (x) A, 误差为,意义:,例如, 因为,而,所以,37,例7 当x时，将函数 写成 其极限值与一个无穷小之和的形式,因为,而 中的 为 x 时,与一个无穷小之和的形式,解,的无穷小，所以,为所求极限值,38,（三）无穷小的运算性质,定理1. 2. 5 有限个无穷小的和是无穷小,无穷多个无穷小的和未必是无穷小,都是无穷小，,如 时，,但,注意:,定理1. 2. 6 无穷小与有界函数的积是无穷小,注意: 常利用该性质计算极限.,39,因为,所以x为x0时的无穷小,例8 求下列函数的极限,
10、所以 仍为 x0 时的无穷小,即：,解,40,(2) 因为,所以,所以 仍为x 时的无穷小,即：,为x时的无穷小,41,推论1 常数与无穷小的积是无穷小,推论2 有限个无穷小的积是无穷小,例如,例如,两个无穷小之商未必是无穷小!,注意:,42,（四）无穷大的定义,定义1. 2. 9 在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值| f (x)|无限增大，则称 f (x) 为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大；如果相应的函数值f (x)(或-f (x) )无限增大，则称 f (x) 为该自变量变化过程中的正（或负）无穷大,43,如果函数f (x)是xx0时的无穷大，记作,如果函数f (
11、x)是xx0时的正无穷大，记作,如果函数f (x)是xx0时的负无穷大，记作,44,(1) 当xx0(或x)时为无穷大的函数 f (x) 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大”.,(2) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;不要把绝对值很大的常数看成是无穷大.,说 明：,45,答：错误!,出现这类错误的主要原因是将“”误认为是一个常数，对它施行数的运算法则,事实上， “”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量。记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量，这个变量可能出现各种不同的情形。同样地, 还有与之商等情况,它们都称为
12、“不定型”,关于,第三章洛必达法则中学习,型的极限的求法，将在,46,例如: 是无界量，但不是无穷大,因为,但是,(3) 注意无穷大与无界量的区别：无穷大是无界量，无界量未必是无穷大,47,（五）无穷小与无穷大的关系,定理1. 2. 7 在自变量的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.,意义:,48,例9 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：,(1) 因为,(2) 因为 所以当x时，2x-1 为无穷大；,为无穷大；,解,所以当x1时，,49,(3) 因为 所以当 x 0+，以及 x+ 时，lnx 均为无穷大.,(
13、4) 因为,为无穷大.,所以当x + 时，,50,无穷小无穷大部分内容小结,1. 无穷小与无穷大都是相对于过程而言的;,2. 无穷小 (大) 是变量，不能与很小 (大) 的常数 混淆，零是唯一的无穷小的常数；,3.无穷多个无穷小的代数和 (乘积) 未必是无穷小；,4.无界变量未必是无穷大；,5.无穷大(量)是发散的变量。,51,三、极限的运算,(一) 极限的运算法则,定理1. 2. 8 如果lim f(x)=A, lim g(x)=B,那么：,说明：上述法则对自变量xx0 及x时都成立.,(2) lim f (x)g(x)= lim f (x)lim g(x)= AB;,(1) lim f (
14、x)g (x)= lim f (x)lim g(x)= AB;,52,(3) 以上定理都要求f(x), g(x)的极限存在，商的法则还要求分母的极限不为零,(1) 定理说明：极限运算lim与四则运算可以交换 次序.,说 明：,(2) 以上定理(1),(2)可以推广到有限个函数的情形 例如limf(x)、limg(x)、limh(x)都存在，则 limf(x)+g(x)+h(x)=limf(x)+limg(x)+limh(x),53,推论1 常数可以提到极限号前面， lim C f (x)= C lim f (x)= C A (C为常数),推论2 如果limf (x)=A，n为正整数, 那么 lim f (x)n =lim f (x) n= An,54,下面的极限运算对吗？,原因： 因为极限,因为,所以,不能利用极限的运算法则!,不存在，,有界，,即,55,（二）求极限的方法,例10 计算,1. 代值法,解,56,例11 计算,因为 所以,解,57,代值法常用结论:,若Q(x0)=0 时则不能直接代入.,设,(1),(2),(3),(分母不为0) ,则有,且,58,例12 计算,解 因为x2时，分子、分母的极限均为0，且它们都有趋向于0的公因子 (x -2) ,而当x2时, x -20 ，所以可以约去这个公因子.,2.
