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1、,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念,第二节 不定积分的计算,第二节 不定积分的计算,一.原函数与不定积分,二.不定积分的基本公式,本节主要内容:,三.不定积分的性质,一. 原函数与不定积分,引例: 已知质点的运动规律 s=s(t), 则速度 v(t)=s(t); 反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其运动规律s=s(t)?,从数学角度看: 找一函数 s=s(t), 使s(t) =v(t) .,定义4.1.1 设函数 y=f(x) 在某区间 I 上有定义, 如果存在函数 F(x) , 对于该区间上任一点 x , 使 F (x)= f (x) 或 dF(x)=f(x)dx 则
2、称函数F(x) 为函数f(x)在该区间I上的一个原函数,例如:,又因为:,所以显然 x5，x5+1，x5-3，x5+c 都是 5x4 的原函数 ., sinx 是 cosx 在 I=(-,+) 上的一个原函数.,对原函数的研究须讨论解决以下两个问题,(1) 是否任何一个函数都存在原函数？,关于原函数的说明:,(2) 原函数是否唯一？若不唯一, 它们之间有什么联系？,设F(x)是函数 (x) 在区间 I上的一个原函数, 则对任意常数C , F(x) + C也是函数 (x) 的原函数.,证明 因为,所以 F(x) + C 也是函数 (x) 的原函数 .,另一方面, 设 G(x)是 f (x)在 I
3、 内的任意一个原函数, 即 G (x)= f (x) 则,由拉格朗日定理的推论, 在 I 内, G(x)-F(x)=C , 即 G(x) = F(x)+C ( 为任意常数),因此, 任意两个原函数之间相差一个常数 .,不定积分的概念,定义4.1.2 设F(x)是函数 f(x) 的一个原函数, 则f(x)的全体原函数称为 f(x) 的不定积分, 记作 , 即,结论 求不定积分, 只需求出被积函数的原函数再加上积分常数即可.,例1 由导数的基本公式，求下列不定积分:,所以,(2)因为,所以,所以,(1)因为,例2 根据不定积分的定义验证,所以,由于,1 求函数f(x)的不定积分就是求f(x)的全体
4、原函数, 实际上只需求出它的一个原函数, 再加上一个常数 C 即可;,三个结论,2 检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数;,3 积分和求导互为逆运算:,(先积后微形式不变),(先微后积差一常数),例3 写出下列各式的结果:,不定积分的几何意义,若y = F(x)是函数 y=(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形是(x) 的一条积分曲线;,图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是:,(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y =F(x)沿y轴平行移动|c|个单位而得到.,当 c 0 时, 曲线向上移动; 当 c 0 时, 曲线向下移动.,o,x,y
5、,x,y=F(x),|c|,是f(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的,而,(2),即横坐标相同点处 , 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等, 都为(x) . 从而相应点的切线相互平行.,o,x,y,x,y=F(x),当需要从积分曲线族中求出过点 (x0 , y0) 的一条积 分曲线时, 则只须把(x0, y0) 代入 y = F(x) + C 中解出 C 即可.,例4 求过点(1, 3) , 且其切线斜率为 2x 的曲线方程 .,即f(x)是2x 的一个原函数.,因为,因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31C，C2。 于是所求曲线方程为yx22。,所以 y=f(x)x2C.,设所求的曲
6、线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x，,例5 设某物体运动速度为 v=3t2, 且当t=0时, s=2, 求物体的运动规律 s=s(t) .,由题意s 3t2 ,即,再将条件t=0时，s=2代入得 C=2,所求运动规律为s=t3+2 .,练一练,二. 不定积分的基本公式,三. 不定积分的性质,性质4.1.1,性质4.1.2,此性质可推广到有限多个函数之和的情况,注意：,2. (1) + (2),即线性组合的不定积分等于不定积分的线性 组合.这说明不定积分具有线性运算性质 .,分项积分法,直接积分法,利用不定积分的性质和基本积分公式 , 可求出一些简单函数的不定积分. 通常把这种积分方法称为直接积分法.,例6 求,例7 求,例8 求,例9 求,例10 求,例13,例15,直接积分法,利用不定积分的性质和基本积分公式,可求出一些简单函数的不定积分.通常把这种积分方法称为直接积分法.,例6 求,幂函数积分公式,（恒等变形法）,例7 求,原式,例8 求,(2) 原式,(1) 原式,例9 求,原式,例10 求,原式,例11 求,原式,原式,例13,(2) 原式,(1) 原式,原式,原式,练一练,内容小结:,2.不定积分的基本公式,3.不定积分的性质,
