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1、高 等 工 程 数 学,主讲 杨文强,tel 74257,第一章 线性空间和线性变换,第七章 假设检验,第三章 矩阵分析及其应用,第五章 矩阵的广义逆与直积,第四章 矩阵分解及其应用,第六章 抽样分布与参数估计,第二章 方阵的相似化简,第八章 线性统计推断,第九章 多元统计分析,上篇 矩阵论及其应用,下篇 应用数理统计,第一章 线性空间和线性变换,1 线性空间,2 线性变换及其矩阵表示,3 内积空间,什么是空间？,空间是近代数学中的一个抽象概念，一般称非空集合为空间,什么是线性空间？,线性空间是现实中的平面和空间的抽象推广，是满足一定线性运算的空间,从两方面研究空间特性,代数特性,几何特性,1
2、 线性空间,1 线性空间,数域的定义,定义,设 F 是一个数集，且 0，1 F ，若对 F 中任意元素a，b，有,则称 F 为数域 .,简单讲：数域就是有加、减、乘、除运算， 且对这四种运算封闭的非空集合,实数集 ，复数集 为数域 .,1 线性空间,线性空间的定义,定义,设 F 是一个数集，V 是一非空集合.,对任意的 ，定义加法运算 + ：,对任意的 ，定义数乘运算 ：,若加法运算和数乘运算满足如下性质：,1 线性空间,(交换律） 有 ；,(结合律) 有 ；,(零元) ，使得对任意的 有 ；,(负元) ， 使得 记为,1 线性空间,(分配律） 有,(分配律) 有,(结合律) ，使得 有,有,
3、则称 为数域 上的线性空间(向量空间)，记为,注： 中的元 称为向量.,称为实线性空间,称为复线性空间,1 线性空间,常见线性空间,实线性空间.,例 1,例 2,实线性空间( F = ).,复线性空间( F = ).,例 3,记 Pn(t) 表示所有次数不超过 n 的实系数多项式的全体，按通常的多项式加法和数乘多项式运算，Pn(t) 构成实线性空间.,1 线性空间,常见线性空间,记,例 4,按通常的矩阵加法和数乘矩阵运算， 构成实线 性空间，称为实矩阵空间.,同理可定义复矩阵空间,问,是否构成线性空间？,1 线性空间,线性空间的性质,设V 是线性空间, V 中的零元素唯一, 负元素唯一,，有
4、，,有,1 线性空间,线性表示,定义,设 是线性空间V 中的向量，若存在V 中一组向量 ，及一组数 ， 使得,则称向量 能被向量组 线性表示，或线性表出.,1 线性空间,线性相关与线性无关,定义,设 是线性空间V 中的一组向量，若存在一组不全为 0 的数 .使得,则称向量组 线性相关.,若,则称向量组 线性无关.,1 线性空间,？,问,否！,问, 单个非零向量 线性,否！,无关,单个零向量 线性,相关,？,1 线性空间,线性空间的基与维数,定义,设 是线性空间V 中的线性无关向量组，若对任意的 ，存在 ， 使得,则称向量组 是V 的 基. 称V为n维线性空间.记V 的维数为dim(V ) =
5、n. 记为V n.,如果V 中存在无穷个线性无关的向量，则称 V 为无穷维线性空间。 本课程只研究有限维线性空间。,1 线性空间,定理,有唯一的线性表示,1 线性空间,结果分析,记,称 为 在基 下的坐标(向量),则 ，有,按矩阵乘法运算法则,1 线性空间,满足：若,则,称 与 同构，记为,因此存在 的 的映射：,它们有相同的代数结构,1 线性空间,例 5,取 的一个基 ，求,在基 下的坐标.,在 下的坐标为,1 线性空间,变换矩阵,是 的两个基，这两个基之间有什么关系,？,称 为基 到 的变换矩阵(过渡矩阵),定义,设 ,记 ，则有 ,1 线性空间,重要性质：基 到基 的变换矩阵 是满秩 矩
6、阵,推论：设基 到基 的变换矩阵为 ， 则 到 的变换矩阵为,设 是基 到 的变换矩阵，即有 = P,在两个基下有 =x =y,坐标变换公式,1 线性空间,例 6,已知 的两个基是：,试求1 到 2 的变换矩阵 .,1 , 2,1 线性空间,例 7,试求1 到 2的变换矩阵 ；,及 在基1 ， 2下的坐标.,取 的两个基 1 ， 2,定义 设V 为线性空间， 是V 的子集,如果W 中的元按V 中的运算也构成线性空间，则称 W 为V 的线性子空间(简称子空间)，记为,1 线性空间,子空间,易知,称 为平凡子空间,问, 单个零向量线性相关, 不含线性无关向量,有,1 线性空间,例 8,给定 ，且
7、.令,dim(A) =rankA = r,dim(A) = n - rankA = n - r,1 线性空间,张成的子空间,例 9,设 是线性空间V 的一向量 组，记,则 是V 的子空间，称为由 张成的子空间.,1 线性空间, 设,则,(A),1 线性空间,基扩张定理,定理,设 是V n 中一组线性无关向量，则存在V n中 个向量 ，使得 构成V n的基.,1 线性空间,子空间的交及和空间,定义,设 ，令,称 为 与 的交， 称 为 与 的和.,1 线性空间,易知：, 都是 的子空间，分别称为 与 的交空间及和空间., 的交与集合运算中的“交”相同，而 的和与集合运算中的“并”不相同.,1 线
8、性空间,例 10,中的和空间与交空间：,且,则,设 是 中不平行的两个平面,平面 与 的交线,问,对一般的V n是否有,？,1 线性空间,维数公式,定理,设 是线性空间V n的子空间，则有,例 11,设 的两个子空间：,求 及 的基和维数.,1 线性空间,但表示法可能不唯一.,有,也可表为,则 可表为,例 设,1 线性空间,子空间的直和,定义,若 只有唯一分解式,则称 为 的 直和，记为,问,在什么条件下,？,1 线性空间,定理 下列条件等价,1 线性空间,例 12,设V1，V2分别是齐次线性方程组,的解空间.试证,1 线性空间,空间的直和分解,定理,设V1 是V 的子空间，则必存在子空间V2使得,1 线性空间,推广到有限个子空间的交、和、直和概念：,如 有唯一的分解式,则称 为直和，记为,
