《高等代数高等代数第5章二次型1章节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数高等代数第5章二次型1章节（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性,5.1. 二次型及其矩阵表示,称为数域P上的一个n元二次型.,(5-1),5.1.1 二次型的定义及表示,系数在数域P中，含有n个未知量的二次齐次多项式,是有理数域上一个三元二次型。,例,当aij为实数时，f 称为实二次型。,当aij为实数时，f 称为实二次型。,1用和号表示,对二次型,二次型的表示方法,(5-2),2用矩阵表示,(5-3),在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩
2、阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,解,例2,解,例3 写出下面二次型的矩阵,5.1.2 非退化线性替换,定义5-2：设 是两组变量， 系数在数域P中的下列关系式称为从变量 到 的一个线性替换：,(5-4),如果系数矩阵 可逆的 (非退化）， 则称(5-4)为可逆的的，或非退化的，也称满秩线性变换。,令,(5-4)可表为,(5-5),问题：怎样通过合适的非退化线性替换将 二次型变得简单些？换言之，对于 对称矩阵 ，如何找到可逆矩阵 ，使得 简单些？,将线性替换(5-5)代入二次型,得二次型,非退化线性替换的性质：,（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换,证：,（2）连续施行线性替换
3、的结果还是一个线性替换,证：,（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个 非退化线性替换。,5.1.3 矩阵的合同,定义5-3 设A,B是数域P上两个n阶矩阵，如果 存在P上的n阶可逆矩阵C，使得,则称A与B是合同的。,注：1、合同关系满足自反性，对称性和传递性，,2、合同矩阵具有相同的秩. 从而在非退化线性 替换下, 二次型的秩不变.,证明,即 为对称矩阵.,小 结,（一）二次型及其矩阵表示 （二）非退化线性替换 （三）矩阵的合同,作业: p233. 2, 3, 4,只含有变量的平方项而不包含交叉乘积项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）,例如,不是标准形.,是标准形.,5.2 二次型的标
4、准形,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 非退化线性替换，将二次型化为标准形,说明,后,1.二次型经非退化线性替换,2. 要使二次型f 经非退化线性替换,变成标准形，就是要使,f的矩阵由A变成,也就是要使CTAC成为对角矩阵。,配方法 初等变换法,目标：,问题转化为：,1、配方法,定理5-1：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换，化为标准形。 （拉格朗日配方法）,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性 替换，就得到标准形；,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先
5、作可逆线性替换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方。,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,由于二次型和矩阵是一一对应的，所以 定理5-1可用矩阵语言叙述为,定理5-2：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个 对角阵。即对于P上任一对称矩阵A，都存在P上的 可逆阵C，使得,为对角阵。,配方法求C较麻烦，下面借助矩阵方法来进行。,由定理5-2，对对称矩阵A，存在可逆C，使得,为对角阵. 即令,2、初等变换法,解,例3,例4,小结,将一个二次型化为标准形，可以用初等变换法也可以用拉格朗日配方法。使用不同的方法，所得到的标准形
6、可能不相同，但标准形中含有的非零项数必定相同，项数等于所给二次型的秩。,思考题,思考题解答,作业: p232. 1(1,3,5,7),在上一节中，数域P上的任一二次型， 都可经过适当的非退化线性替换化为标准形。 但标准形不唯一。,问题：能否找到有关标准形的不变量？,5.3 唯一 性,5.3.1 复二次型的规范形,复二次型经过适当的非退化线性替换(包括改变 变量的次序)，总可以变为标准形,由于复数总可以开平方，再作一次非退化线性 替换,称此为复二次型的规范形。,定理5-3 任一复数域上的n元二次型，总可以经过 非退化线性替换变为规范形，且规范形是惟一的。,定理5-4 任一复对称矩阵A必合同于一个
7、形如,的对角矩阵，其中r=r(A)。,5.3.2 实二次型的规范形,实二次型经过适当的非退化线性替换(包括改变 变量的次序), 总可以变为标准形,由于在实数域中, 正数可以开平方, 再作一次 非退化线性替换,称此为实二次型的规范形。,定理5-5 任一实数域上的n元二次型，总可以经 过非退化线性替换变为规范形，且规范形是惟一的。,定理5-6 任一实对称矩阵A必合同于一个形如,的对角矩阵，其中p+q=r=r(A)，p是正惯性指数， q是负惯性指数。,5.3.3 惯性定理,定理 (Sylvester惯性定理)对于任意一个n元实二次型，不论进行怎样的非退化线性替换使之化为标准形，其中正平方项的项数p和
8、负平方项的项数q都是唯一确定的 证略.,定义5-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。,注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。,推论5-1 两个实二次型可以经过非退化线性替换 互相变换的充分必要条件是: 它们具有相同的 秩和正惯性指数。,推论5-2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数。,小结,1. 秩、正负惯性指数都是实二次型的不变量。,2. 实二次型的规范形惟一。,3. 复二次型的规范形惟一。
9、,作业: p235. 5, 6,为正定三元二次型,为负定二元二次型,5.4 实二次型的正定性,例如,5.4.1 正定二次型,证明,充分性,故,定理1 n元实二次型 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个系数全为正。,必要性,故,推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为,推论2 n元实二次型正定的充分必要条件 是,它的正惯性指数为n。,5.4.2 正定矩阵,定义2 设A是实对称矩阵，如果二次型 是 正定二次型，则称A是正定矩阵。,定理 3 实对称矩阵A正定的充要条件是：存在可逆 矩阵C，使得,定理2 n阶实对称矩阵A为正定的充分必要条件 是A与单位矩阵E合同 证 由推论即得,
10、例1 设A正定，则A可逆，且 也正定。,证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得,下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件,定理4（必要条件）设A为正定矩阵，则,(1) A的主对角元素,(2) A的行列式,证明：,(2)因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得,注：此定理只是必要条件，,虽满足,但A不是正定矩阵。,正定矩阵,称为A的k阶顺序主子式。,定义3 设 是一个n阶矩阵，如果A的k阶子式,的行标等于列标，即 ，则称为 k阶主子式（principal minor），其中主子式,这个定理称为霍尔维茨定理,定理5（充分必要条件） 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式全为正，即
11、,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,它的顺序主子式都大于零，,5.4.3 其他类型的实二次型,定义4 设 为n元实二次型，对于 任意一个非零向量x，,(1) 都有 ，则称f是半正定的；,(2) 都有 ，则称f是负定的；,(4) 如果 既不是半正定也不是半负定， 则称f是不定的。,(3) 都有 ，则称f是半负定的；,注：以上二次型对应的实对称矩阵分别叫做 半正定矩阵，负定矩阵，半负定矩阵。,定理6 对于n元实二次型f，下列命题等价：,f负定； f的负惯性指数是n，即其规范形为 f的矩阵A的的
12、顺序主子式 满足 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0，,定理7 对于n元实二次型f，下列命题等价：,f半正定； f的正惯性指数是r，即其规范形为 f的矩阵A的所有主子式全大于等于0。,注： f的矩阵A的所有顺序主子式全大于等于0，不能保证f的半正定性。如,但f的矩阵的所有顺序主子式全大于等于0,解,2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺序主子式判别法；,(3)其他判别法.,四、小结,1. 正定二次型的概念，正定二次型与 正定矩阵的区别与联系,3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）及半正定二次型（ 矩阵）相应的判别方法,思考题,
