《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.8 函数的连续与间断》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.8 函数的连续与间断（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,二、 函数的间断点,一、 函数的连续性,第 8 节,函数的连续与间断,第 1 章,三、连续函数的运算,四、闭区间上连续函数的性质,可见 , 函数,在点,一、 函数的连续性,定义1,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函
2、数,在点,连续有下列等价命题:,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间
3、断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,三、连续函数的运算,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故
4、复合函数,又如,且,即,单调 递增,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,例2 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: 令,则,原式,说明: 由此可见当,时, 有,例5. 求,解:,原式,说明: 若,则有,例6. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x =
5、 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,四、闭区间上连续函数的性质,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论
6、: 在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,
