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1、胡雪梅,QQ:182048520 E-mail：,第三章,数学与统计学院,单一样本的推断问题,主要内容,第一节 符号检验和分位数推断,假设总体 ， 是总体的中位数，对于假设检验问题： 是待检验的中位数取值,定义: ，则 在零假设情况下 ，在显著性水平为 的拒绝域为 其中k是满足上式最大的k值。,例3.1. 假设某地16座预出售的楼盘均价，单位(百元/平方米)如下表所示： 36 32 31 25 28 36 40 32 41 26 35 35 32 87 33 35,解一: 用t检验法,用T统计量,结论: 不能拒绝H0。,解二: 用符号检验法,在显著性水平0.05下，拒绝H0。 符号检验与t检验
2、得到了相反的结论，到底选择哪一种结果呢？,结论：符号检验在总体分布未知的情况下优于t 检验！,补充: R中的t检验法的用法,t-test(x) X1,X2,XnN(a, 2), H0 : a=a0 , H1: aa0,补充: R中的t检验法的用法,例如, 某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐质量为500g, 现从每天生产的罐头中随机抽测9罐,其质量分别为: 510, 505, 498, 503, 492, 502, 497, 506, 495(单位:g) 欲检验H0: a=500, H1: a500, t.test(x-500) data: x - 500 t = 0.46, df = 8,
3、p-value = 0.6578 alternative hypothesis: mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: -3.567471 5.345249 sample estimates: mean of x 0.8888889,2) 配对t检验法 X1,X2,XnN(a1, 12), Y1,Y2,YnN(a2, 22), H0 : a1=a2 , H1: a1a2,补充: R中的t检验法的用法,例如, 欲比较甲乙两种轮胎的耐磨性, 现抽取数据如下: 甲: 4900,5220,5500,6020,6340,7660,8
4、650,4870 乙: 4930,4900,5140,5700,6110,6880,7930,5010 欲检验H0 : a1=a2 , H1: a1a2, x y t.test(x,y,alternative=“less”,paired=T),补充: R中的t检验法的用法,Paired t-Test data: x and y t = 2.8312, df = 7, p-value = 0.9873 alternative hypothesis: mean of differences is less than 0 95 percent confidence interval: NA 534.
5、1377 sample estimates: mean of x - y 320 接受H0, 认为两种轮胎无显著性差异.,结果讨论,例 生产过程是否需要调整。 某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是l0米。现随机地： 从正在生产的生产线上选取10根进行测量，结果： 9.8 10.1 9.7 9.9 9.8，10.0，9.7 10.0，9.9 9.8,分析：中位数是这个问题中所关心的一个位置参数。 若产品长度真正的中位数大于或小于10米，则生产过程 需要调整。这是一个双侧检验，应建立假设,大样本结论,当n较大时 ： 当n不够大的时候可用修正公式进行调整。 双边： ，p-值 左侧： ，p-值 右侧
6、： ，p-值,例3.2 设某化妆品厂商有A和B两个品牌，为了解顾客对A品牌和B品牌在使用上的差异，将A品牌和B品牌同时交给45个顾客使用，一个月后得到如下数据： 喜欢A品牌的客户人数：22人 喜欢B品牌的客户人数：18人 不能区分的人数： 5人,解：假设检验问题：,由给定的数据知：,运用大样本的性质，,结论：不能拒绝零假设。,符号检验在配对样本比较中的应用,配对样本(x1,y1), (x2,y2) , (xn,yn) 将 记为“+”， 记为“-” ， 记为“0”，记P+ 为“+”比例， P- 为“-”比例， 那么假设检验问题： 可以用符号秩检验。,H0:P+=P- H1:P+=P-,例3.4
7、如右表是某种商品在12家超市促销活动前后的销售额对比表，用符号检验分析促销活动的效果如何？,连 促销前 促销后 锁 销售额 销售额 符号 店 1 42 40 + 2 57 60 - 3 38 38 0 4 49 47 + 5 63 65 - 6 36 39 - 7 48 49 - 8 58 50 + 9 47 47 0 10 51 52 - 11 83 72 + 12 27 33 -,结论：不能拒绝零假设。,根据同样原理，可以将中位数符号检验推广为任意分位点的符号检验。,例3.1. 假设某地16座预出售的楼盘均价，单位(百元/平方米) 36,32,31,25,28,36,40,32,41,26
8、,35,35,32,87,33,35,36 32 31 25 28 36 40 32 41 26 35 35 32 87 33 35 - - - - - - 0 - + - - - - + - -,S+=2, S-=13, Pbinom(15, 0.75)minS+,S-2=0 因此,拒绝H0。,binom.test(sum(x40),length(x)-1,0.75) Exact binomial test data: sum(x 40) out of length(x)-1 number of successes = 2, n = 15, p-value = 9.23e-07 altern
9、ative hypothesis: p is not equal to 0.75,R编程计算：,95 percent confidence interval: 0.01657591 0.40460270 sample estimates: probability of success 0.1333333,Cox-Staut趋势存在性检验,检验原理: 设数据序列： ，双边假设检验问题： 令： 取数对 ， ， 为正的数目， 为负的数目, 当正号或者负号太多的时候，认为数据存在趋势。在零假设情况下 Di服从二项分布。从而转化为符号检验问题。,X1,X2,Xn,例3.6 某地区32年来的降雨量如下表
10、问 （1）：该地区前10年来降雨量是否有变化？ （2）：该地区32年来降雨量是否有变化？,年份 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 降雨量 206 223 235 264 229 217 188 204 年份 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 降雨量 182 230 223 227 242 238 207 208 年份 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 降雨量 216 233 233 274 234 227 221 214 年份 1995 1996 1997
11、1998 1999 2000 2001 2002 降雨量 226 228 235 237 243 240 231 210,=5,结论: 不能拒绝零假设。, x y binom.test(sum(xy),length(x),0.5) Exact binomial test data: sum(x y) out of length(x) number of successes = 2, n = 5, p-value = 1 alternative hypothesis: p is not equal to 0.5, x y binom.test(sum(xy),length(x-y),0.5) E
12、xact binomial test data: sum(x y) out of length(x - y) number of successes = 2, n = 16, p-value = 0.004181 alternative hypothesis: p is not equal to 0.5 结论: 拒绝H0, 认为降雨量有明显变化., rain year anova(lm(rain(year) Analysis of Variance Table Response: rain Terms added sequentially (first to last) Df Sum of S
13、q Mean Sq F Value Pr(F) year 1 535.36 535.3637 1.579228 0.2185691 Residuals 30 10170.11 339.0035 接受H0,认为降雨量线性趋势并不显著.,随机游程检验,游程的概念 一个总体，如按性别区分的人群，按产品是否有毛病区分的总体等等，随机从中抽取一个样本，样本也可以分为两类；类型I和类型E。若凡属类型I的给以符号A，类型E的给以符号B，则当样本按某种顺序排列(如按抽取时间先后排列)时，一个或者一个以上相同符号连续出现的段，就被称作游程，也就是说，游程是在一个两种类型的符号的有序排列中，相同符号连续出现的段。
14、,例如，将某售票处排队等候购票的人按性别区分，男以A表示，女以B表示。按到来的时间先后观察序列为：AABABB。在这个序列中，AA为一个游程，连续出现两个A；B是一个游程，A也是一个游程，BB也是一个游程。于是，在这个序列中，A的游程有2个，B的游程也有2个，序列共有4个游程。每一个游程所包含的符号的个数,称为游程的长度。如上面的序列中，有一个长度为2的A游程、一个长度为2的B游程，长度为1的A游程、B游程也有1个。,游程: 01111为两个游程 游程长度: 一个游程中数据的个数 一个序列里游程个数记为R. 例3.7 序列1100001110110000111100 R=8，游程长度分别为2,
15、4,3,1,2,4,4,2 极端情况: 000001111111 R=2 0101010101010 R=2min(n0,n1)+1 所以, 2R2min(n0,n1)+1 极端情况都说明数据不具有随机性。 R服从什么分布呢？,检验原理和计算方法,设是由0或者1组成的序列 ，假设检验问题：,R为游程个数，假设有 个0， 个1， ，这时R取任何一个值的概率都是 ，R的条件分布,建立了抽样分布之后，在零假设成立时，可以计算 或者 的值，进行检验。,X1,X2,Xn,小样本的例子(p69 例3.8),H0: 样本中的观测是随机产生的. Ha: 样本中的观测是随机产生的 = .05 n1 = 18 n2 = 8 R = 12
