《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.2 数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.2 数列的极限（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第 1 章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,第 2 节,数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S .,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽,(刘徽割圆术),定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,例如,趋势不定,收 敛,发 散,例1. 已知,证明数列
2、,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为0 .,二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足
3、的不等式,例4. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时, 有,因此该数列发散 .,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,3. 收敛数列具有保号性.,若,且,有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),则,则,*,4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,则原数列一定发散 .,说明:,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,
