《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 2.1 导数概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育十二五 规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 2.1 导数概念（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第 1 节,导数的概念,第 2 章,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),
2、割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,不存在,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导
3、函数.,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,若极限,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例4. 求函数,的导数.,解:,即,原式,是否可按下述方法作:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,例6. 设,存在, 求极限,解: 原式,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,例7. 问曲线,哪一点
4、有铅直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有铅直切线,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,存在,定理2. 函数,在点,且,存在,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 a , b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,
