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1、第 页 共 7 页 1函数中的任意和存在性问题二 解答题教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系授课过程：引入：已知函数 xaxfln2)1(2)(， xeg1)(， （）当 1a时，求 的单调区间；（）若函数 )(xf在 2,0上无零点，求 a的最小值；（）若对任意给定的 e,0，在 ,0上总存在两个不同的 ix（ 2,1） ，使得 )(0xgfi成立，求 a取值范围。问题：已知函数 1,2)(xkxf ，函数 0,5)(23)( xkxg ，当 6k时，对任意 01，是否存在 0,1
2、2， (1f成立.若 2k呢？变式 1：对任意 ,x，存在 ,2x， )(12xf成立，求 的取值范围. 的值域是 的值域的子集即可. )xf的值域是 (g的值域的子集即可.()fx()g变式 2：存在 1,0 0,2，使得 )(12f成立，求 k的取值范围. )(的值域与 )(xf的值域的交集非空.变式 3：对任意 ,1，存在 ,12，使得 )(12xfg成立，求 的取值范围. )()(mininxfg走进高考 （09 浙江理）已知函数 25)1223 xk, 1)(2kxg,其中 R.设函数 .0),(xfgq 是否存在 ,对任意给定的非零实数 ,存在惟一的非零实数 2（ 1）,使得 )(
3、12xq成立？若存在,求 k的值;若不存在,请说明理由小结： 1.对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.作业：已知函数 ,0)(2xkxf ，函数 0,1,5)(23)( xkxg自主探究其他任意和存在性问题，并总结一般性结论。例 1：（1）已知 求实数 的取值范围。2(),1,)(0af fx对 任 意 恒 成 立 ， a第 页 共 7 页 2（2）已知 ，对任意 ， 的值域是 ，求实数 的取值范围。2()xaf1,)x(fx0， ） a分析：本题第（1
4、）问是一个恒成立问题，由于 ， 恒成立，则此问题等x2)(xf价于 恒成立，又等价于 时 的最小值 恒成立.)1(02)(xax 10由于 在 时为增函数，所以 ，于是 ，)( 3)(minax0.3a第（2）问是一个恰成立问题，即当 时， 的值域恰为 ,与（1）不同的是， （1）是1x)(f)0时， 恒成立，因此允许在 时， 的取值为 ， ，-等等.1x0)(xf 23而 的值域为 ，则当 时， 只能取 ，而不能是其他.),x)(xf),，当 时，由于 ， 与其值域为xaf2)( 20a132(xaf矛盾，所以有 .,00注意到当 时，函数 都是 上的增函数，因而 也是 上的增函数.于axy
5、,),1)(xf),1是 在 时的最小值为 ，令 ，即 ，得 .)(xf1)1(f0(f 02a3a小结：1、解恒成立题的基本思路是：若 在 D 上恒成立，等价于 在 D 上的最Axf)(, )(xf小值 成立，若 在 D 上恒成立，则等价于 在 D 上的最大值 成立.Axf)(min Bxf)( )(f Bma2、解决恰成立问题的的基本思路是：若 在 D 上恰成立，等价于 在 Dx, )(xf上的最小值 ，若 在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值xf)(min,xf)( )(xf.Bf)(ax例 3：函数 22fxxa（1）定义域为区间 ，求实数 的取值范围.1,（2）在区间 上有
6、意义，求实数 的取值范围；2分析：（1）由题意知不等式 的解集为-1,2，220xa即 的解集为-1,2，则 的两根为-1，2 则 或220xa2a1第 页 共 7 页 32a（2）由题意知，不等式 在-1,2上恒成立220xa即: 恒成立,1,2x 2,1,)(max2或 时， 或2()4x2x1a22) 能成立问题若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .如已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围_（答：）3)恰成立问题若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ；若不等式 在区间
7、 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .3. 已知两函数 232()816,()54fxxkgx，k 为实数。（）对任意的 3,，有 f成立，求实数 k 的取值范围；（）对任意的 1， 2,，有 12()fg成立，求实数 k 的取值范围；（）对任意的 2,x，总存在 13x，有 ()x成立，求实数 k 的取值范围。4. 设函数 f(x)(x1)ln(x 1)，若对所有的 x0，都有 f (x) ax 成立，求实数 a 的取值范围（盐城市 2009/2010 学年度高三年级第一次调研考试）20已知函数 .2ln(0,1)xa（）当 时，求证：函数 在 上单调递增；1a()f,)（）若函数 有三
8、个零点，求 的值；|()|1yfxtt（）若存在 ，使得 ，试求 的取值范围.12,12|(|1xfe20. 解：（） 3 分ln2l)lnxfaaa 由于 ，故当 时， ，所以 ，a(0,)0,()0fx故函数 在 上单调递增 5 分()x（）当 时，因为 ，且 在 R 上单调递增，,1(f()fx故 有唯一解 7 分fx所以 的变化情况如下表所示：,()fx (,0)0 (0,) 0 ()f递减 极小值 递增又函数 有三个零点，所以方程 有三个根，|1yt()1fxt而 ，所以 ，解得 11 分1tmin()fxf2第 页 共 7 页 4（）因为存在 ，使得 ，12,x12|()|1fxf
9、e所以当 时， 12 分mainmaxin|()()()1f fe由（）知， 在 上递减，在 上递增，)f,00,所以当 时， ，, ina() ,(ffff而 ，11(1)(ll2lf a记 ，因为 （当 时取等号） ，2l0)gtt2()()0gtt1t所以 在 上单调递增，而 ，()nt,1g所以当 时， ；当 时， ，1t()g1t()t也就是当 时， ；当 时， 14 分a()f0a()f当 时，由 ，lneea当 时，由 ，0 10ff e综上知，所求 的取值范围为 16 分a10,ae（南京市 2010 届高三第二次模拟考试数学试题）19.已知函数 2()(1)lnfxax（1）
10、 当 a=1 时，求函数 f(x)的单调增区间（2） 求函数 f(x)区间【1， e】上的最小值；（3） 设 ()gxa，若存在 01,xe，使得 00()fxg成立，求实数 a 的取值范围。第 页 共 7 页 5（常州市 20092010 学年度第一学期期末联考）20. 设 为实数，函数 ， 的图象在点,mt21mxtff处的切线的斜率为 1.0,Mf求实数 的值；m若对于任意 ，总存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围；1,2xt2fxtt设方程 的两个实数根为 ，若对于任意 ，总存在 ，20tab、 ,xab1x使得 恒成立，记 ，当 时，求实数2,xab12fxffx21gtff5gt的值.t所以实数 数的取值范围是 9 分t2,4第 页 共 7 页 6（南京市 2010 届高三第三次模拟考试）20.已知函数 2()3,()fxmgxm（1）求证：函数 必有零点()fxg（2）设函数 G()1若 在 上是减函数，求实数 的取值范围；|()|x1,0m是否存在整数 ，使得 的解集恰好是 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明ab()xb,ab,ab理由。第 页 共 7 页 7
