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1、数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 1函数专题七方程根的分布及相关不等式问题解法总结根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。一、一次方程根的分布例 1、已知函数 ，若在区间 ，1 上存在 ，使 ，则实数 m 的取值4mx2)(f20x0)(f范围是_。小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a，b）上利用 处理。0bfa二、一元二次方程 根的分布0acbxa2下面讨论当 a0 时一元二次方程 根的分布。c2
2、（一）不限制根的区间：（1）无根：0。（二）限制根的区间1、指定区间内有两根、两个根在不同区间内 ； ； ； 。21xmpxn2121xnmqxpn21根的分布 图象 表达式21x 0)(mfpxnm21 0)(pfnf21xnx 0)n(fmqxpnm21 0)(qfpfxyo mx1 x2x2yo nx1 xm p qx2yo nx1 xm px2yo mx1 xn数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 2、两个根在同一个区间内 ； ； 。21xmm21nx21根的分布 图象 表达式21x ；m
3、a2b00)(2fabmx21 ；a2b00)(2mfabnxm21 ；na2bm00)(fna2b2、指定区间内恰有一个根在（m， ）内恰有一根； 在（ ，m ）内恰有一根； 在（m，n）内恰有一根。根的分布 图象 表达式在（m， ）内恰有一根 ；mab20 )(f在（ ，m ）内恰有一根 ；mab20 )(f在（m，n）内恰有一根 ；na2bm0 )(fxyo mx1 x2xyo m x1= x2 xyo mx1 x2xyo mx1= x2 x2yox1 xm nx2yo x1 xm nxyomx1= x2nx2yox1 xm nxyom x1=x2xyo mx1 x2xyom x1 x2
4、xyomx1=x2yo x1=x2 xm n数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 33、指定区间内至多或至少有一个根至少有一个根在（m， ）内至少有一根：分两种情况：在（m， ）内恰有一根；在（m ， ）内有两根。在（ ，m）内至少有一根：分两种情况：在（ ，m ）内恰有一根；在（ ，m ）内有两根。在（m，n）内至少有一根：分两种情况：在（m，n）内恰有一根； 在（m ，n）内有两根。至多有一个根在（m， ）内至多有一根：分三种情况：在（m， ）内恰有一根；在（ ，m内有两根；无根。在（ ，m）
5、内至多有一根：分三种情况：在（ ，m ）内恰有一根；在m ， ）内有两根；无根。在（m，n）内至多有一根：分四种情况：在（m，n）内恰有一根； 在（ ，m内有两根；在n， ）内有两根；无根。小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线（实际作图时最容易发生情况遗漏） ，一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（开口方向、判别式、对称轴与区间的相对位置、区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。一、基础题型例 2、已知关于 的二次方程 ，分别求满足下列条件的 m 的范围。x0122mx一根比 1 小，另一根比 1 大；一根比 0 小，另一根比 1 大；两根都
6、大于 0；两根 （-1，0） ， （1，2） ；1xx两根都在区间（0，1）内；恰有一根在（1，+）内；至少有一根在（1，+）内。小结：要正确作图可分以下几个步骤：理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？开始作图：依次考虑以下方面：开口方向有没有确定？符合题意的“”有哪些情况？是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？分布区间的端点在图象上对应点位置在 x 轴上？上方？下方？数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 4例 3、已知 ，若 x ，2 ， 恒
7、成立，求 a 的取值范围。a3x)(f222)x(f小结：不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。不等式恒成立问题也可用变量分离法求解。练：1、已知关于 x 的方程 ，求满足下列条件的 m 的取值范围。0m24x12两个正根 ；有两个负根；两个根都小于 1；一个根大于 2，一个根小于 2 ；两个根都在（0，2）内；两个根有且仅有一个在（0，2）内；一个根在（ ，0）内，另一个根在（1，3）内；二、综合应用例 4、关于 的方程 的一个实根在0 ，1上，另一根在1，2 上，则 的最大值x0b2ax2 b3a2为_。例 5、已知集合 A= ，B= ，若 AB 是单元素集，1mxy|,x23x0,yx
8、|,求实数 m 的取值范围。数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 5例 6、已知函数 的定义域为 A，函数 的定义域为 B，2x6xf3kx41xg2若 ，求实数 k 的取值范围。AB例 7、求函数 的值域。2x1y2三、复合型方程根的分布复合方程在探讨根的情况时，一般按复合函数的方法先换元成基本函数，然后按照从外到内的顺序讨论方程根的情况。例 8、已知函数 和 的图象如下所示： )x(fy)(g给出下列四个命题： 方程 有且仅有 6 个根 方程 有且仅有 3 个根 0)x(gf0)x(fg方程
9、有且仅有 5 个根 方程 有且仅有 4 个根 其中正确的命题是_。 （将所有正确的命题序号填在横线上）例 9、若关于 x 的方程 在 x ，1 上有解，求实数 a 的取值范围。08a349a2xx 1xyo 1 22 1-1-2 -1 -2y=f(x) xyo 1 22 1-1 -2-1-2 y=g(x)数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 6例 10、设定义域为 R 的函数 ，若关于 x 的函数 有 8 个不同的零点，4x)(f2 c)x(f4fy2则实数 c 的取值范围是_。小结：复合型方程根
10、的分布问题运用换元法先转化为基本函数问题，按照从外而内的思路分步解决问题。练：2、设关于 的方程 R） ，xbx(0241若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；当方程有实数解时，讨论方程实根的个数。数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 7巩固训练：1、若关于 x 的方程 有两相异实根，且两根均在区间0，2上，求实数 a 的取值范围。01xa22、求实数 的范围，使关于 的方程 。m062)1(2mx有两个实根，且一个比大，一个比小；有两个实根 ，且满足 ；, 40至少有一个正根。3、关于 x 的
11、方程 至少有一个小于 的根，求实数 a 的取值范围。2ax214、若二次函数 在区间 ，1 内至少存在一个实数 c，使0pp4)(f 21，求实数 p 的取值范围。0)c(f5、设 ， ，若 ，求实数 的取值范围。2,)A20BxaBAa6、已知方程 在（ ，1）上有两个根，求 的取值范围。m)1(mx m数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 8参考答案：例 1、简析：（一）令 ，显然 ，解得： ， ，04mx2)(fm2x12或 。2m（二）由题意，有 ， 或 。1f1例 2、简析：设函数 ，则
12、 。12x248242 ， 。0m)1(f ， 。0f22法（一） ， 。f1法（二）涉及到根的正负问题也可用韦达定理解决：， 。01m2x1 212 ， 。02ff 2m65 ， 。01f 212 或 ， 。mfm 或 或 ， 。100f1f21例 3、简析：设函数 对任何 x ，2 恒成立，0ax2xg2如图有 3 种可能情形：=0； ； ，02fa02fxyo 2-2数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 9练：1、简析：设函数 ，m24x12xf5m232412 ， 。0m240f 5 ，
13、。0240f123 ， 。041fm3 ， 。62)( ，06m2f401 ， 或 。3m2 ， 。01m43f20f 例 4、简析：设函数 ，b2axf2则 ， 得 ，02f10ba1作出可行域，如图，设 l： ，32z当直线 l 过点 A（3，1）时，z=2a+3b 有最大值为 9。Aaboa-b-2=0a-2b-1=0l数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点） ，方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习解题不总结，等于竹篮子打水。 10例 5、简析：由题意，联立方程组 ，消去 y，得：3x0yx1m2恰有一解， 或 或304x1m2 2103m562 f321， 或 。03f3例 6、简析： ，函数 定义域： ，设函数 ，,2A)x(g03kx423kx4h2 ，有 或 ，B03k4160015k3h2解得： 或 ，即 。4k2例 7、简析：函数可化为方程 有解，2x01yxyy=0 时， ， 有解，y=0；01x1xy0 时，有 或01y32f4201y32f ；1y0y0 时， ，03f1237a4 时，图中 与 无交点，原函数无
