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1、数学基础知识与典型例题复习第二章函数由 广东省阳江市第一中学 周如钢 编写映射映射：设非空数集 A，B，若对集合 A 中任一元素 a，在集合 B 中有唯一元素 b 与之对应，则称从 A 到 B 的对应为映射，记为 f：AB，f 表示对应法则，b=f(a) 。若 A中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从 A 到 B 的映射为一一映射。例 1.若 ， ,则 到 的4,321AcbaBAB映射有 个， 到 的映射有 个；若 ， , 则 到 的一一映,射有 个。例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N，映射 把集合 A 中的元素 映射到集f: n合 B 中的元素
2、，则在映射 下，象 20n2f的原象是 ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集 A，B 上的映射，此时称数集 A 为定义域，象集 C=f(x)|x A为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组
3、）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 例 3.已知扇形的周长为 20，半径为 ，扇形面r积为 ，则 ；定义域为 S)(rf。例 4. 求函数 的定义域. 2143)(xf例 5. 若函数 的定义域为 1,1，求函)(xfy数 的定义域。41(xfy函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法） ；换元法（代数换元法） ；不等式法；单调函数法.注 : 求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用
4、导数法求某些函数最值（极值）更加方便.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数 的值域),0(Rxkby为 R; 二次函数当 时值,2acxa域是 ,当 时值24)域是 ；反比(,b例函数 的值域)0,(xky为 ； 指数函数0|的值域为),1,(Rax且；对数函数Rxyalog的值域为,且R； 函数的值域sincs()yx为-1，1；函数, 2k,taot xy的值域为 R；)(Zx例 6.已知 (x0), 21()12,()gxfgx求 .2f例 7. 求函数 的值域.241yx例 8. 下列函数中值域为 的是( )，0(A) (B) xy215xy13(C) (D) x2单调性
5、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在例 9.讨论函数 的单调性。21)(xf区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.0（ ， ） （ ， ）单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法（作差比较和作商比较） ；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质） ；复合函数单调性判断法则;导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例 1
6、0. 函数 在定义域上的单调性为 ( 12xy)（A）在 上是增函数，在 上是增,函数;（B ）减函数;（C ）在 上是减函数，在 上是减函数;（D）增函数,1例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数，求证：f g (x)在 R 上也是增函数。奇偶性1.偶函数： .设)(xff（ ）为偶函数上一点，则ba,（ ）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称，例如：y在 上不是偶函数.12x),满足 ，或(xff，0)(f若 时， .x1)(f2.奇函数： .设(xf（ ）为奇函数上一点，则ba,（ ）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足
7、定义域一定要关于原点对称，例如： 在3xy上不是奇函数.满足)1,例 12.判断下列函数的奇偶性： ,xxf1)( ,221)(xxf 2(0)()xf，或 ，)(xff0)(xff若 时， .0f 1)(f注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如 ，()0fx（f(x)0）1f反函数1.反函数定义：只有满足，函数 才y 唯 一 )(xf有反函数. 例如： 无反2函数.函数 的反函数)(f记为 ，习惯上记为1yx. )(f2.求反函数的步骤:将 )(xfy看成关于 的方程,解出 ，x1若有两解，要注意解的选择；将
8、 互换，得 ；y, )(1xfy写出反函数的定义域（即的值域） 。)(xf3.在同一坐标系，函数与它的反函数)(xfy的图象关于 对1xy称.注：一般地， 的1(3)f反函数. 是先 的fxx反函数，在左移三个单位.例 13.求函数 （1 x 1 (C)a1 (D) 0 则 , 1x 在1，0上 f(x)为增函数，在0，1上为减函数。例 10. C例 11. 证：任取 且 x1 0 时, x0 有 f (x) = xx2 = (x2+x) )()0()()(2xfxf 此函数为奇函数.例 13.解： 1x 0,0 x 2 1 ,01 x 2 1, 0 1 ,20 y 1 由： 解得： ( 1x
9、 0 )yy (1 x 0)的反函数是： ( 0 x 1 )2 2例 14.解:利用数形对应的关系，可知 y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函数，从而化 g(x)问题为已知 f(x)。 1(f(fy 的反函数为 即 g(11)=f (11)-1=1yf)gf23评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当 f(x)存在反函数时，若 b=f(a)，则 a=f-1(b).例 15. B例 16. 1 例 17. m=2,n= 2例 18. = ， = 奎 屯王 新 敞新 疆a7b10解：由已知 在反函数的图象上，则 必在原函数的图象上 奎 屯王 新 敞新 疆)4,( )2,41(所以原函数
10、经过点 和 奎 屯王 新 敞新 疆则 ，所以 ，解得 奎 屯王 新 敞新 疆)41,2(,ba412142ba1270ab例 19.D例 20.解：原式 01log9)23(log77例 21.证明：设 ,46xyzk , 取对数得: , , ,(0)xyz1lg3kxl4ylg6kz 1lg342lg342ll12lxykkkz , , 64lgl6814l() 0g3l43434xy又 ,9ll166l()gl626g2kyzkk ,434xyz例 22. 解： 3()loxfg当 或 时 134x014x()fgx当 时 即 ()fg当 或 时 01334xx014x()fxg综上所述：
11、 时 ；(,),)()fxg时 ;3xfgx(13时 例 23. 解：定义域 ,单调减区间是 .28063x或 ),6(设 则 ,1212,(6,)xx且 211log(38)yx221log(38)yx = ,又 ,3838)2)6x , , 210x21x1x2138又底数 , ,210y2y函数 在 上是减函数.)83(log21xy(6)例 24解:要使函数有意义，则须： 即：2104x 211xx , 从而 , ,1x 210x 24x , ,定义域为-1,1，值域为 奎 屯王 新 敞新 疆204 y ,0要使函数有意义，则须： 51505422 xxx由 ,在此区间内 , 奎 屯王 新 敞新 疆51x 9)(ma249 从而 即：值域为 ,2133log(4)log9 y定义域为-1,5，值域为 奎 屯王 新 敞新 疆),2例 25.解: 可由 的图象向左平移两个单位得7xy62x1x的图象，再向上平移三个单位得 的图象。12yx 3y例 26.D例 27. D例 28. D例 29. x=0，2 或 417
