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1、第四章 随机变量的数字特征 1 （） 在下列句子中随机地取一个单词 ， 以 X 表示取到的单词所包含的字 母个数 ， 写出 X 的分布律并求 E（ X） “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” （） 在上述句子的 个字母中随机地取一个字母 ， 以 Y 表示取到的字母所 在单词所包含的字母数 ， 写出 Y 的分布律并求 E（Y） （） 一人掷骰子 ， 如得 点则掷第 次 ， 此时得分为 第二次得到的点数 ； 否则得分为他第一次掷得的点数 ， 且不能再掷 ， 求得分 X 的分布律及 E（ X） 解（） 随机试验属等可能概型 所给句子共 个单词 ， 其中含 个
2、字母 ， 含 个字母 ， 含 个字母的各有一个单词 ， 另有 个单词含 个字母 ， 所以 X 的分布 律为 X pk 数学期望 E（ X） （） 随机试验属等可能概型 ，Y 的可能值也是 ， ， ， 样本空间 S 由各个 字母组成 ， 共有 个样本点 ， 其中样本点属于Y 的有 个 ， 属于 Y 的有 个 ， 属于 Y 的有 个 ， 属于Y 的有 个 ， 所以 Y 的分布律为 Y pk 数学期望 E（Y） （） 分布律为 X pk E（ X） 2 某产品的次品率为畅 ， 检验员每天检验次 每次随机地取件产品进 行检验 ， 如发现其中的次品数多于 ， 就去调整设备 以 X 表示一天中调整设备 的
3、次数 ， 试求 E（ X） （设诸产品是否为次品是相互独立的 ） 解先求检验一次 ， 决定需要调整设备的概率 设抽检出次品件数为 Y ，则 Y b（ ， 畅） 记需调整设备一次的概率为 p ， 则 p PY PY PY 畅 畅 畅 畅 又因各次检验结果相互独立 ， 故 X b（ ， 畅 ） X 的分布律为 X pk（ p） p（ p） p （ p） p （ p） p 于是 E（ X） p（ p） p （ p） p （ p） p p 畅 畅 以后将会知道若 X b（n，p） ， 则 E（ X） np 3 有 只球 ， 个盒子 ， 盒子的编号为 ， ， ， 将球逐个独立地 ，随机地放 入 个盒子中
4、去 以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X 表 示第 号 ， 第 号盒子是空的 ， 第 个盒子至少有一只球） ， 试求 E（ X） 解法（i） 由于每只球都有 种放法 ， 由乘法原理共有 种放法 其中 只球都放在 号盒中的放置法仅有 种 ， 从而 P X 又 X 表示事件“ ， 号盒子都是空的 ， 而 号盒子不空” 因 ， 号盒子 都空 ， 球只能放置在 ， 号两个盒子中 ， 共有 种放置法 ， 但其中有一种是 只 球都放在 号盒子中 ， 即 号盒子是空的 ， 这不符合 X 的要求需除去 ， 故有 P X 88概率论与数理统计习题全解指南 同理可得P X ， P X 因此 E（
5、 X） 钞 k kP X k 注 ：P X 也可由 （ P X P X P X ） 求得 解法（ii） 以 Ai（i ， ， ， ）记事件“第 i个盒子是空盒” X 表示事件 “第一个盒子中至少有一只球” ， 因此 X A ， 故 P X P（ A ） P（ A） （因第一个盒子为空盒 ， 只球的每一只都只有 个盒子可以放 ，故 P（ A） （） ） X 表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球” ，因 此 X AA 故 P X P（ AA ） P（ A A） P（ A） （ P（ AA） P（ A） （因在第一个盒子是空盒的条件下 ， 第二个盒子也是空盒 ，则 只球都只有 个 盒
6、子可以放 ， 故 P（ AA） ） 类似地 ， P X P（ AAA ） P（ A AA） P（ AA） P（ A） ， P X ， 因此 ，E（ X） 钞 k kP X k 解法（iii） 将球编号 以 X，X，X分别记 号 ， 号 ， 号球所落入的盒子 的号码数 则 X，X，X都是随机变量 ，记 X min X，X，X ，按题意 ，本题 需要求的是 98第四章 随机变量的数字特征 E（ X） Emin X，X，X 因 X，X，X具有相同的分布律 Xj pk 因而 X，X，X具有相同的分布函数 F（ z） ，z ， ， z ， ， z ， ， z ， ，z 于是 X min X，X，X 的分
7、布函数为 ： Fmin（ z） F（ z） （ ） ，z ， ， z ， ， z ， ， z ， （ ） ，z X min X，X，X 的分布律为 X pk 得E（ X） 4 （） 设随机变量 X 的分布律为 P X （ ） j j j j，j ， ， ， 说明 X 的数学期望不存在 （） 一盒中装有一只黑球 ， 一只白球 ， 作摸球游戏 ， 规则如下 ：一次从盒中随 机摸一只球 ， 若摸到白球 ， 则游戏结束 ； 若摸到黑球放回再放入一只黑球 ， 然后再 09概率论与数理统计习题全解指南 从盒中随机地摸一只球 试说明要游戏结束的摸球次数 X 的数学期望不存在 解（） 因级数 钞 j （ ）
8、j j j PX （ ） j j j 钞 j （ ） j j j j 钞 j （ ） j j 不绝对收敛 ， 按定义 X 的数学期望不存在 （） 以 Ak记事件“第 k 次摸球摸到黑球” ， 以 Ak记事件“第 k 次摸球摸到白 球” ， 以 Ck表示事件“游戏在第 k 次摸球时结束” ，k ， ， 按题意 Ck AA Ak A k， P（Ck） P（ A k | A A Ak）P（Ak | A A Ak ） P（A | A ） P（A） P X P（ A ） ， P X P（ AA ） P（ A | A ） P（ A） ， P X P（ AAA ） P（ A | A A） P（ A | A
9、） P（ A） ， X k 时 ， 盒中共 k 只球 ， 其中只有一只是白球 ， 故 P X k P（ A Ak A k） P（ A k AA Ak ）P（ Ak AA Ak ） P（ AA）P（ A） k k k k k k k 若 E（ X） 存在 ， 则它应等于 钞 k kP X k 但 钞 k kP X k 钞 k k k k 钞 k k ， 故 X 的数学期望不存在 5 设在某一规定的时间间隔里 ， 某电气设备用于最大负荷的时间 X（以 min 计） 是一个随机变量 ， 其概率密度为 f（ x） x ， x ， （ x ） ， x ， ，其他 19第四章 随机变量的数字特征 求 E（ X） 解按连续型随机变量的数学期望的定义 ， 有 E（ X） xf（ x）dx xf（ x）dx xf（ x）dx xf（ x）dx xf（ x）dx x dx x x dx x （ x ） dx x d x x x x （min） 6 （） 设随机变量 X 的分布律为 X pk畅畅畅 求 E（ X） ，E（ X ） ，E
