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1、 1 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 习题习题 2.1 1 口袋中有 5 个球，编号为 1, 2, 3, 4, 5从中任取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码 （1）试求 X 的分布列； （2）写出 X 的分布函数，并作图 解： （1）X 的全部可能取值为 3, 4, 5， 且1 . 0 10 1 3 5 1 3= =XP，3 . 0 10 3 3 5 2 3 4= =XP，6 . 0 10 6 3 5 2 4 5= =XP， 故 X 的分布列为 6 . 03 . 01 . 0 543 P X ； （2）因分布函数 F (x) = PX x，分段点为 x = 3,
2、 4, 5， 当 x 0 = 1 PX = 0 = 1 0.583752 = 0.416248 8 设随机变量 X 的分布函数为 1，PX 1 解：X 的全部可能取值为其分布函数 F (x) 的分段点 0, 1, 3, 6， 且 4 1 0 4 1 )00()0(0=FFXP， 12 1 4 1 3 1 )01 () 1 (1=FFXP， 5 6 1 3 1 2 1 )03() 3(3=FFXP， 2 1 2 1 1)06()6(6=FFXP， 故 X 的概率分布列为 2 1 6 1 12 1 4 1 3210 P X ； 且 3 1 )03(3=FXPXP； 4 3 4 1 1)01 (11
3、11= 4 解： （1）X 的全部可能取值为 2, 3, 4， 且3 . 0 10 3 3 5 31 2= =XP，4 . 0 10 4 3 5 22 3= =XP，3 . 0 10 3 3 5 13 4= =XP， 因分布函数 F (x) = PX x，分段点为 x = 2, 3, 4， 当 x 4 = P () = 0 12设随机变量 X 的密度函数为 = ., 0 ; 11|,|1 )( 其他 xx xp 试求 X 的分布函数 解：分布函数 F (x) = PX x，分段点为 x = 1, 0, 1， 6 当 x = . 2 |, 0 ; 2 |,cos )( x xxA xp 试求 （
4、1）系数 A； （2）X 落在区间 (0, /4) 内的概率 解： （1）由密度函数正则性知12 2 sin 2 sinsincos)( 2 2 2 2 = = + AAAxAxdxAdxxp， 故 2 1 =A； （2）所求概率为 4 2 0 4 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 4 0 4 0 4 0 = a 0.05， 则05. 0 100 1 100 1 100 105. 0)( 5 100 5 100 4 = = = + ax dx x dxxpaXP a aa ， 故0720.45)05. 01 (100 5 =a 18设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的密度函数为
5、 a和 B = Y a独立，且 P (AB) = 3/4，求常数 a 解：由于事件 A 和 B 独立，且显然有 P (A) = P (B)， 则 4 3 )()(2)()()()()()()()( 2 =+=+=APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPU， 可得 2 1 )(=AP或 2 3 )(=AP（舍去） ， 显然 0 = a xxxaXPAP aa ， 故 3 4=a 19设连续随机变量 X 的密度函数 p (x) 是一个偶函数，F (x) 为 X 的分布函数，求证对任意实数 a 0，有 （1） = a dxxpaFaF 0 )(5 . 0)(1)(； （2）P| X | a =
6、21 F (a) 证： （1）因 p(x) 为偶函数，有 + = a a dxxpdxxp)()(且5 . 0)( 0 = dxxp， 则 +=+= aaa dxxpdxxpdxxpdxxpaF 00 0 )(5 . 0)()()()(， 故 = + aa a a dxxpaFdxxpdxxpdxxpaF 0 )(5 . 0)(1)(1)()()(； （2）P| X | a = 1 P| X | a = 1 P| X | 10000， 故现在就购买股票，则一年后所拥有的股票市值的数学期望达到最大； 因50006250 4 10000 5 . 0 1 10000 5 . 0 10000 =+=
7、X E， 故一年以后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大 10保险公司的某险种规定：如果某个事件 A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额 a 元，而事 件 A 在一年内发生的概率为 p如果保险公司向投保户收取的保费为 ka 元，则问 k 为多少，才能使保 险公司期望收益达到 a 的 10%？ 解：设 X 表示保险公司的收益，X 的全部可能取值为 ka, ka a， 则 E(X ) = (1 p) ka + p (ka a) = (k p) a = 0.1a， 故 k = p + 0.1 11某厂推土机发生故障后的维修时间 T 是一个随机变量（单位：h） ，其密度函数为 = .
8、 0, 0 ; 0,e02. 0 )( 02. 0 t t tp t 试求平均维修时间 解： 平均维修时间50 02. 0 e ee)e(e02. 0)( 0 02. 0 0 02. 0 0 02. 0 0 02. 0 0 02. 0 = =+= + + + + + t tttt dttdtdttTE 12某新产品在未来市场上的占有率 X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量，它的密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e )( x x xp x 解：7e25e2e)52()e)(52(e)52()52( 00000 =+=+=+=+ + + + + + xxxxx dxxdxdxxXE
9、14设随机变量 X 的分布函数如下，试求 E ( X ) 1 时， )1( 2 1 e 4 1 )()( = x xFxp， + += 1 )1( 2 1 0 e 2 1 )(e 2 1 x x dxdx 则 + + + +=+= 1 )1( 2 1 0 1 )1( 2 1 0 e 4 1 e 2 1 e 4 1 2 e )()(dxxdxxdxxdxxdxxxpXE x x x x ， 因1e0ee)(ee 00000 = xxxxx dxxdxdxx， 6e42e2e2e2e 1 )1( 2 1 1 )1( 2 1 1 )1( 2 1 1 )1( 2 1 1 )1( 2 1 =+= + +
10、 + + xxxxx dxxdxdxx， 故16 4 1 ) 1( 2 1 )(=+=XE 15设随机变量 X 的密度函数为 + = ., 0 ; 10, )( 2 其他 xbxa xp 如果 3 2 )(=XE，求 a 和 b 解：由正则性得1 33 )()( 1 0 3 1 0 2 =+= +=+= + b a x baxdxbxadxxp， 又 3 2 4242 )()()( 1 0 42 1 0 2 =+= +=+= + bax b x adxbxaxdxxxpXE， 故2, 3 1 =ba 16某工程队完成某项工程的时间 X（单位：月）是一个随机变量，它的分布列为 1 . 02 .
11、03 . 04 . 0 13121110 P X （1）试求该工程队完成此项工程的平均月数； （2）设该工程队所获利润为 Y = 50(13 X )，单位为万元试求该工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间 X（单位：月）的分布为 1 . 04 . 05 . 0 121110 P X 则其平均利润可增加多少？ 解： （1）平均月数 E (X ) = 10 0.4 + 11 0.3 + 12 0.2 + 13 0.1 = 11 （2）平均利润为 E (Y ) = E 50 (13 X ) = 150 0.4 + 100 0.3 + 50 0.2 + 0 0.1 = 100
12、（万元） ； （3）因 E (Y1) = E 50 (13 X1) = 150 0.5 + 100 0.4 + 50 0.1 = 120，有 E (Y1) E (Y ) = 20， 故平均利润增加 20 万元 13 17设随机变量 X 的概率密度函数为 = ., 0 ;0, 2 cos 2 1 )( 其他 x x xp 对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于 /3 的次数，求 Y 2的数学期望 解：Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4，因 2 1 6 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 3 3 3 = x dx x XPp， 则 16 1 )1 (0 4
13、=pYP， 16 4 )1 ( 1 4 1 3 = =ppYP， 16 6 )1 ( 2 4 2 22 = =ppYP， 16 4 )1 ( 3 4 1 3 = =ppYP， 16 1 4 4 =pYP， 故5 16 80 16 1 4 16 4 3 16 6 2 16 4 1 16 1 0)( 222222 =+=YE 18设随机变量 X 的密度函数为 + = 证： （1）)( 11111 XEnXnPnXPnXPkXP nn n kkknk = + = + = + = + = + = ； （2） + = + = = + = + += + = = 11 1 0010 ) 1( 2 1 nn n kkknk nXPnnnXkPnXPkkXkP )()( 2 1 2 1 2 11 2 XEXEnXnPnXPn nn =
