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1、第三章 多维随机变量及其分布 1 在一箱子中装有 只开关 ， 其中 只是次品 ， 在其中取两次 ， 每次任取一 只 ，考虑两种试验 ： （）放回抽样 ； （）不放回抽样 我们定义随机变量 X ，Y 如下 ： X ，若第一次取出的是正品 ， ，若第一次取出的是次品 ； Y ，若第二次取出的是正品 ， ，若第二次取出的是次品 试分别就（） 、 （） 两种情况 ， 写出 X 和 Y 的联合分布律 解（） 放回抽样 由教材第一章知第一次第二次取到正品（或次品） 的概 率相同 ， 且两次所得的结果相互独立 ， 即有 P X PY ， P X PY ， 且 P X i ，Y j P X i PY j ，i
2、 ，j ， ， 于是得 X 和 Y 的联合分 布律为 P X ，Y P X PY ， P X ，Y P X PY ， P X ，Y P X PY ， P X ，Y P X PY （） 不放回抽样 由乘法公式 PX i， Y j PY jX iPX i ，i，j ， ， 知 X 和 Y 的联合分布律为 P X ，Y ， P X ，Y ， P X ，Y ， P X ，Y （） 、 （） 两种情况下的 X 和 Y 的联合分布律的表格形式分别为 X Y X Y 2 （） 盒子里装有 只黑球 、 只红球 、 只白球 ，在其中任取 只球 以 X 表示取到黑球的只数 ， 以 Y 表示取到红球的只数 求 X
3、和 Y 的联合分布律 （） 在（） 中求 P X Y ，PY X ，P X Y ，P X Y 解（） 按古典概型计算 自 只球中取 只 ， 共有 种取法 在 只 球中 ， 黑球有 i 只 ， 红球有 j 只（剩下 i j 只为白球） 的取法数为 ： N X i ，Y j i j i j ， i ， ， ， ，j ， ， ，i j 于是 P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y 35第三章 多维随机变量及其分布 P X ，Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y 分布律为 X Y （） P X Y P X ，Y P X ，
4、Y P X ，Y P X ，Y PY X P X ，Y P X Y P X ，Y P X ，Y P X ，Y PX Y PX Y PX ，Y PX ，Y PX ，Y 3 设随机变量（ X ，Y） 的概率密度为 f（ x ，y） k（ x y） ， x ， y ， ，其他 （） 确定常数 k （） 求 P X ，Y （） 求 P X （） 求 P X Y 解（） 由 f（ x ，y）d xdy ， 得 45概率论与数理统计习题全解指南 dy k（ x y）d x k （ y） x x x x dy k （ y ）dy k（ y y ） k， 所以 k （） P X ，Y dy （ x y）d x
5、 （ y） x x x x dy y dy （） P X dy （ x y）d x （ y） x x x x dy y dy 题 畅 图 （） 在 f（ x ，y） 的区域 R ： x ， y 上作直线 x y （如题 畅 图） ，并记 G： （ x ，y） | x ， y x ， 则 P X Y P（ X ，Y） G G f（ x ，y）dxdy dy y （ x y）dx （ y） x x x y x dy （ y）（ y） （ y） dy （ y） （ y） dy （ y） （ y） 4 设 X ，Y 都是非负的连续型随机变量 ， 它们相互独立 （） 证明 P X Y FX（ x） fY
6、（ x）dx 其中 FX（ x） 是 X 的分布函数 ，fY（y） 是 Y 的概率密度 55第三章 多维随机变量及其分布 （） 设 X ，Y 相互独立 ， 其概率密度分别为 fX（ x） e x ， x ， ， 其他 ， f Y（y） e y ， y ， ， 其他 ， 求 P X Y 解 （） 因 X ，Y 为非负的相互独立的随机变量 ， 故其概率密度为 f（ x ，y） fX（ x） fY（y） ， x ，y ， ， 其他 题 畅 图 从而 P X Y 簇 G fX（ x） fY（ y）dxdy ， 其中 G 为 x ，y x 界定的区域 ， 从而 P X Y y fX （ x） f Y（y
7、）dxdy fY（y） y fX（ x）d xdy fY（y）FX（y）dy FX （y） f Y（y）dy FX（ x） fY（ x）d x （） 由（） P X Y （ e x）（ e x）dx e x e （） xd x e x e （ ） x 5 设随机变量（ X ，Y） 具有分布函数 F（ x ，y） e x e y e x y ， x ，y ， ， 其他 求边缘分布函数 解 FX（ x） F（ x ， ） e x ， x ， ， 其他 FY（y） F（ ，y） e y ， y ， ， 其他 6 将一枚硬币掷 次 ， 以 X 表示前 次中出现 H 的次数 ， 以 Y 表示 次中 出现
8、 H 的次数 求 X ，Y 的联合分布律以及（ X ，Y） 的边缘分布律 解法（i） 将试验的样本空间及 X ，Y 取值的情况列表如下 ： 65概率论与数理统计习题全解指南 样本点HH HHHTHTHTH HHTTTHTTTHTTT X 的值 Y 的值 X所有可能取的值为 ， ， ；Y所有可能取的值为 ， ， ， ， 由于试验属等可 能概型 ， 容易得到（ X ，Y） 取（i ，j） ，i ， ， ；j ， ， ， 的概率 例如 P X ，Y ，P X ，Y ， P X ，Y 可得 X 和 Y 的联合分布律和（ X ，Y） 的边缘分布律如下表所示 X Y PY j P X i 解法（ii） X b（ ， ） ，Y 所有可能取的值为 ， ， ， 而当 X i （i ， ， ） 时 ，Y 取 i 的概率为 ，Y 取 i 的概率也是 ， 而取 i ，i 以外的值是不 可能的（因第三次投掷不是出现 H 就是出现 T） ， 知 P X i i ，i ， ， ， 故知 P X ，Y PY X P X P X
