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1、 微积分 课程教案（十六）课题：第四章不定积分 4.1-4.2不定积分的概念、法则与基本公式课时：周次：11授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：掌握不定积分的概念、法则，能根据法则、概念与公式求不定积分教学重难点：不定积分的概念及不定积分的简单运算教学过程与内容：一不定积分的概念与基本运算法则1. 引入新课（1）启发学生回答下列问题:1)2)（2）教师指出：我们把叫做的一个原函数 ，我们把叫做的一个原函数 同理: ，我们把叫做的一个原函数2. 由上面的讨论引出原函数的概念已知函数在区间上可导，若，则称函数为在区间上的一个原函数例：由于，-，因此的原函数有无数多个一般地，如果函数存
2、在原函数，则原函数有无数多个，即我们把叫做的所有原函数（为常数）例：是的所有原函数3. 不定积分的概念若函数为的一个原函数，则函数的所有原函数，称为函数的不定积分，记为：例：，4积分与微分的关系显然，它们是互逆运算5. 先积分后微分两者作用互相抵消例：，一般地：6. 先微分后积分，则两者作用抵消后加上一个常数例：一般地：7.讲例题例4：填空题函数为的一个原函数分析:这是求被积函数的问题，由于，因此解：例5. 解：例6. 例7例8例9学生练习： 19，补充：（1）函数是哪个函数的原函数， （2）函数的一个原函数是 （3）函数的所有原函数是8不定积分运算法则小结：（1）原函数的概念 （2）不定积分
3、的概念 （3）微分与积分为互逆运算 （4）运算法则二不定积分基本公式1. 师生讨论，由导数的运算得出积分基本公式（1）（幂函数） 例：1) 2) 3) 特例： （2）， 即：（3）（指数函数）例： 特例：（4）（三角函数）（5）（反三角函数）例：例已知解：令，即课后练习：习题四4.01（1）（2）（3）（4） 4.02（2）（4）（6）阅读参考书目：教学小结：主要内容是不定积分的概念、公式与不定积分的简单运算基本公式1. （幂） 2. （a0,a1）（指） 3.（三角） 4.（反三角） 微积分 课程教案（十七）课题：第四章不定积分 4.3 凑微分 课时：周次：12授课日期：地点：授课方式及手段
4、：课堂讲授教学目标：掌握凑微分的方法教学重难点：凑微分的方法教学过程与内容：三凑微分引言为求解不定积分的需要，我们再来讨论微分的逆运算由微分的逆运算引出概念例： 反过来：，即由此得出凑微分的概念：把一个函数的导数与自变量的微分的乘积，变成这个函数的微分的方法叫做凑微分引例：（1） （为常数）（2） 一般地 ，（3） 课后练习：（1）（2） （3），（4）（5）阅读参考书目：教学小结：（1）凑微分的方法就是微分的逆运算，关建是微分的运算，即（2）凑微分的公式不要死记，主要是掌握方法 微积分 课程教案（十八）课题：第四章不定积分 4.4 不定积分第一换元法 课时：周次：12授课日期：地点：授课方式
5、及手段：课堂讲授教学目标：理解不定积分第一换元法，能用第一换元法求不定积分教学重难点：不定积分第一换元法法则教学过程与内容：四不定积分第一换元法1引入课题（1）要求学生回答： （2）复习法则2.讲新课例：求分析：考虑到： 因此把积分表达式变为解： 且（凑微分） 同理： 例：求分析：考虑到： 因此把积分表达式变为解：且同理： 学生练习： 3.熟练后引进的中间变量可以不写出来而是通过凑微分的方法求解例：课后练习：习题四4.03（3）（4）（5）（6） 4.04（1）（2）（3）（4）阅读参考书目：教学小结：（1）不定积分第一换元法的关键是中间变量，谁是中间变量就把谁凑微分（2）第一换元法主要是解决
6、复合函数的积分问题 微积分 课程教案（十九）课题：第四章不定积分 4.5 不定积分第二换元法 课时：周次：13授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：理解不定积分第二换元法法则，能用法则求不定积分教学重难点：不定积分第二换元法法则教学过程与内容：五不定积分第二换元法1.复习第一换元法例： 2.第二换元法例：（1）解：令 且 =（2）解：令且（3）解：令且=（4）解:令且（5）解:令且课后练习：习题四4.11 （3）（4）（5）（6）阅读参考书目：教学小结：（1）第一换元法与第二换元法统称为换元法，它是求不定积分的重要方法 （2）第一换元法中引入的新变量是的函数，第二换元法中引入的新变
7、量为自变量 微积分 课程教案（二十）课题：第四章不定积分 4.6 不定积分分部积分法 课时：周次：13授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：理解不定积分分部积分法法则，能用法则求不定积分教学重难点：不定积分分部积分法法则教学过程与内容：五不定积分分部积分法1.复习不定积分换元法，引入新课 前面我们讨论了不定积分的换元法，它们都是通过换元求积分的方法，第一换元法是针对复合函数的积分方法，它的关键问题是凑微分，第二换元法是针对带有根式的积分方法，它的关键是消掉根号，换元法是求积分的重要方法，现在我们再来讨论积分的另一种重要方法分部积分法（1）推导公式：即：两边取积分得：又（2）分部积分
8、公式的特点左边的形式：，说明是一个函数，也是一个函数，求积分时必须把被积表达式变为：的形式，即：右边为两部分，一部分已经求出，另一部分要继续求，2举例（1）求分析：必须把被积表达式变为：所以，关键是选，定解：选注意：选得恰当，积分容易求出，否则，积分不能求出，上例如果选则积分求不出选u的方法如下图，箭尾函数为（2）解：选（3）解：选 （4）解：选， 小结：以上求解的积分都是两个函数相乘的情形，如果被积函数为单独一个函数呢？同样可以用这种方法求解例：（1）分析：可以把被积表达式当做的形式，那么就是，积分变量就是解：（2）解:课后练习：习题四4.12 4.15（1）（3）（5）阅读参考书目：教学小结：（1）分部积分法，主要是解决两个函数相乘及单独一个函数的积分问题（2）分部积分法可以连续使用 微积分 课程教案（二十一）课题：第四章不定积分复习课时：周次：14授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：教学重难点：教学过程与内容： 第四章主要内容：一、不定积分的概念，二、不定积分的运算1不定积分的概念（1）函数的不定积分是函数的所有原函数（2）积分与微分是互为逆运算2不定积分的运算方法（1）概念、法则、公式（2）换元法（3）分部积分法例 （1） （2）= = （第二换元法）（3） 课后练习：阅读参考书目：教学小结：18
