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1、 微积分 课程教案（六）课题：第二章导数与微分课时：2 2.1-2.2导数的概念与运算法则周次：授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：理解导数的概念，能根据概念及法则求简单函数的导数教学重难点：导数的概念教学过程与内容：一、导数的概念1. 两个实例例1：求平面曲线的切线的斜率已知曲线经过点，取曲线的另外一点，作割线，则割线的斜率为：当如果割线的极限位置的倾斜角为，则切线的斜率为： 例2：直线运动的瞬时速度 设物体作直线运动的方程为，当物体经过时间到达点时，物体经过的路程为： 同理，当物体经过时间：到达M点时，物体经过的路程为：那么在时间间隔内物体经过的路程为：所以物体在时间间隔内的
2、平均速度为：容易知道，当很小时，可以用平均速度近似表示物体在时刻的快慢程度，时间间隔越短，近似程度就越高，当时，若平均速度的极限存在，则称此极限值为物体在时刻的瞬时速度： 2. 导数的定义上面两个例子中，尽管实际背景不一样，但从抽象的数量关系来看却是一样的，都归结为;当自变量的改变量趋于零时，求函数改变量与自变量改变量之比的极限，这就是函数在某一点的导数值的概念。（1）定义2.1（） （2）根据定义2.1以上两个例子可表示为：1) K2) 3. 求导数值的方法根据导数值的定义得出求导数的方法:（1）求函数的改变量：（2）求比值:（3）求极限：例：求函数在处的导数值解: (略) 4. 导函数的定
3、义（ 5行）若函数在区间I上每一点处都可导，则称函数在区间I上可导，这时任意，都有一个确定的导数值与之对应，得到区间I内的一个函数，我们把这个函数叫做函数的导函数。记为 5. 导数值与导数的关系容易知道：导数值是一个确定的值，而导数是一个函数例：求函数在处的导数解：根据导数定义，得 6. 导数与连线的关系可导一定连续，但连续不一定可导7. 运算法则（1）（2）（3）例：求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）解：（1） （2） （3）先化简再求导 （4） （5）课后练习：习题二2.01 1.02阅读参考书目：教学小结：本课主要内容为导数的概念与运算法则 微积分 课程教案（七）课题：第二章
4、导数与微分课时：2 2.3 导数基本公式周次：授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：掌握导数基本公式，能用公式求函数的导数教学重难点：导数基本公式教学过程与内容：基本公式（1） 由于同理例：特例： 当时， ，学生训练： （2）（3） （4）（5）课后练习： 习题二2.03 （1）（2）（3（4）（5）（6）阅读参考书目：教学小结：本课主要内容是应用导数基本公式求函数的导数 微积分 课程教案（八）课题：第二章导数与微分课时：2 2.4复合函数导数运算法则周次：授课日期：地点：授课方式及手段：课室讲授教学目标：掌握复合函数导数运算方法教学重难点：复合函数导数运算法则教学过程与内容：复合
5、函数的导数法则 则复合函数在点处的导数为：例1 求函数的导数解：（1）分解复合函数为，（2）根据复合函数导数运算法则，得到复合函数的导数为把代入上式得当你熟练后，分解复合函数可省略，中间变量的导数也不写出来，而是直接写出运算的结果。如对例1的解法为例：求函数解：学生练习 6.（1）（3）（5） 7.（2）（4）（6）8.（1）（3）（5）9（1）（2）（3）课后练习：阅读参考书目：教学小结：求复合函数导数的方法，关键是找出中间变量并记在心里，然后按法则进行运算 微积分 课程教案（九）课题：第二章导数与微分课时：2 2.5-2.7隐函数的导数、高阶导数与微分周次：授课日期：地点：授课方式及手段：
6、课室讲授教学目标：理解隐函数的导数、高阶导数与微分的概念教学重难点：高阶导数与微分的概念教学过程与内容：一、 隐函数的导数已知方程式确定变量为的函数，求函数对自变量的导数方法：在方程两边对自变量求导，然后将含导数的项都移到等号左边，便得到导数的表达式。例1 方程式确定变量为的函数，求导数解：（）略例2 方程式确定变量为的函数，求导数解：略例4 方程式确定变量为的函数，求导数解：略例7 求函数的导数分析注意到函数是幂指函数，对函数表达式两边取自然对数化为隐函数求导解：略二、高阶导数1.二阶导数定义2.2 例：2.高阶导数例：已知函数 则（1）n阶导数一般地，函数的导数叫一阶导数 一阶导数的导数叫
7、二阶导数 二阶导数的导数叫三阶导数 阶导数的导数叫n阶导数（2）高阶导数二阶及二阶以上的导数叫高阶导数（3）求高阶导数的方法例：求函数的n阶导数解： 学生训练：求的n阶导数 求的n阶导数三、微分前面我们研究了导数，它是函数的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量趋于0时的极限，即 现在我们来研究函数的改变量的近似值例：求正方形面积的改变量的似值 解：设正方形面积为，当边长时，对应的边长的改变量，面积取得改变量为：当时，也为无穷小，且是的较高阶无穷小，于是我们把函数作为面积改变量的近似值，即，1.微分的定义（1）微分值的定义由上面例子的讨论，我们把函数改变量的近似值叫做函数在点处的微分值记为：在
8、上例中，函数在点的微分值为：在这里我们注意到：这个微分值又可写成：（2）微分定义若函数在区间I上每一处都可微，则称函数在区间I上可微，函数在区间I上任意点处的微分值称为函数的微分，记为： 又由于自变量是它本身的函数，即，且它的导数为1，于是微分 2.求微分的方法例3 （）解：略例4 （）解：略例5 （）4.导数与微分的关系（1）可导必可微，反过来可微必可导（2） （说明导数是函数的微分与自变量的微分的比，所以导数也叫微商）课后练习：阅读参考书目：教学小结：略 微积分 课程教案（十）课题：第二章导数与微分复习课时：2 周次：授课日期：地点：授课方式及手段：课室讲授教学目标：熟练掌握导数与微分的概念及运算方法教学重难点：导数与微分的运算方法教学过程与内容：第二章的主要内容一导数1.概念（1）（2）2.运算（1）定义法 求函数改变量求比值求极限（2）公式法 3.复合函数的导数 4.高阶导数5.隐函数的导数二微分1.概念2.运算(略)课后练习：习题二2.09 2.10 （1）（2）（3）（4） 2.12（1）（3）（5） 2.17阅读参考书目：教学小结：略14
