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1、,第3章 力系的平衡,第3章 力系的平衡,返回,【内容提要】 作用于物体上的力系分为平面力系和空间力系，工程中最常见的是平面力系。本章介绍平面力系向一点简化的结果及其计算，由此得到平面力系的平衡条件和平衡方程，着重讨论平衡方程的应用和物体系平衡问题的解法。本章是刚体静力分析的重点。 【学习要求】 1. 理解力的平移定理。 2. 了解平面力系的简化理论和简化结果。 3. 熟练掌握力在坐标轴上投影的计算。 4. 理解各种平面力系的平衡方程，熟练掌握运用平衡方程求解平衡问题的步骤和技巧。,第3章 力系的平衡,第3章 力系的平衡,返回,31 平面力系向一点的简化,32 平面力系的平衡方程及其应用,第3
2、章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,31 平面力系向一点的简化,作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，这种力系称为平面力系。,例如，图示用起重机吊装钢筋混凝土大梁，作用于梁上的力有梁的重力W、绳索对梁的拉力，这三个力的作用线都在同一铅直平面内，组成一个平面力系。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,屋架受到屋面自重和积雪等重力载荷W、风力F以及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系(如图)。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,有时物体本身及作用于其上的各力都对称于某一平面，则作用于物体上的力系就可简化为该对称平面内的平面力
3、系。,例如水坝(图a)，通常取单位长度的坝段进行受力分析，并将坝段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系(图b)。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,311 力的平移定理,平面力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。,设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到刚体内任一点O (图a)，但不能改变力对刚体的作用效应。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F F F (图b)。,力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O点之矩。,即,第3章 力系的平衡平面力系向
4、一点的简化,目录,由此得到力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体内任一指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力，合成的过程如图所示。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,力的平移定理不仅是力系向一点简化的理论依据，而且也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。,例如，在设计厂房的柱子时，通常都要将作用于牛腿上的力F(图a)平移到柱子的轴线上(图b)，可以看出，轴向力F使柱产生压缩，而力偶矩M将使柱弯曲。,第3章 力系的平衡平面力系向一点
5、的简化,目录,312 平面力系向一点简化的结果,设在刚体上作用一个平面力系F1、F2、Fn ，各力的作用点分别为A1、A2、An(图a)。在平面内任意取一点O，称为简化中心。,利用力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系 。和一个附加的平面力偶系MO1、MO2、Mon(图b)。这些附加力偶的矩分别等于原力系中的各力对O点之矩，即,MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、MOn=MO（Fn）,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,平面汇交力系 可以合成为一个作用于O点的合矢量 (图c)，即,式中 平面力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢。它的大小和方向与
6、简化中心的选择无关。,平面力偶系MO1、MO2、MOn可以合成为一个力偶，其矩MO为,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,即MO等于各附加力偶矩的代数和，也就是等于原力系中各力对简化中心O之矩的代数和。MO称为该力系对简化中心O的主矩。其大小和转向与简化中心的选择有关。,如果选取的简化中心不同，主矢不会改变，故它与简化中心的位置无关；但力系中各力对不同简化中心的矩一般是不相等的，因而主矩一般与简化中心的位置有关。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,313 力在坐标轴上的投影,在力F作用的平面内建立直角坐标系Oxy。,Fx=a1b1 Fy=a2b2,式中的正负号规定为：从a
7、1到b1（或a2到b2）的指向与坐标轴正向相同时取正，相反时取负。,由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作垂线，设垂足分别为a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2冠以适当的正负号称为力F在x,轴和y轴上的投影，分别记作Fx、Fy，即,F,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,由图可知，若已知力F的大小及力F与x、y轴正向间的夹角分别为和，则有,即力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦。当、为钝角时，为了计算简便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,反之，若已知力F在
8、直角坐标轴上的投影为Fx、Fy，则可求出力F的大小及方向，即,应该指出，力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分力是两个不同的概念。力的投影是代数量，而力的分力是矢量。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,式中：i、j坐标轴x、y正向的单位矢量。,在直角坐标系中，力在轴上的投影和力沿该轴的分力的大小相等，而投影的正负号可表明该分力的指向。因此，力F沿平面直角坐标轴分解的表达式为,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,例31 试分别计算图示各力在x轴和y轴上的投影。已知F1= F2=100N，F3=150N， F4=200N。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,F1x=F
9、1cos 45 = 100 N0.707=70.7N F1y=F1cos 45 = 100 N0.707 =70.7N F2x=F2cos 30 =100 N0.866 =86.6N,F2y=F2cos 60= 100 N0.5= 50N F3x=F3cos 90= 0 F3y=F3cos 0=150N1=150N,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,F4x=F4cos 60=200N0.5=100N F4y=F4cos 30=200N0.866=173.2N,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,314 主矢和主矩的计算,设主矢FR 在x、y轴上的投影分别为FRx 、FRy
10、 ，力系中各力Fi(i=1，2，n)在x、y轴上的投影分别为Fix、Fiy。则 FR = FRx i+FRyj 以及,F1 +F2+ Fn =(F1x i+F1y j)+ (F2x i+F2y j)+(Fnx i+Fny j) =( F1x +F2x +Fnx) i+（F1y+ F2y +Fny）j =(Fix)i+(Fiy)j,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,比较后得到 FRx =Fix，FRy =Fiy 即主矢在某坐标轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。 求得主矢在坐标轴的投影后，可求出主矢的大小和方向分别为,至于主矩可直接利用式MO=MO1+MO2+MOn=M
11、Oi进行计算。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,315 平面力系向一点简化结果的讨论,平面力系向一点的简化结果，一般可得到一个力和一个力偶，而其最终结果为以下三种可能的情况： (1)力系可简化为一个合力偶。当FR0、MO0时，力系与一个力偶等效，即力系可简化为一个合力偶。合力偶矩等于主矩。此时，主矩与简化中心的位置无关。 (2)力系可简化为一个合力。当FR0、MO0时，力系与一个力等效，即力系可简化为一个合力。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作用线通过简化中心。,第3章 力系的平衡平面力系向一点的简化,目录,(3)力系处于平衡状态。当FR=0、MO0时，力系为平衡力系。,当FR
12、0、MO0时，根据力的平移定理逆过程，可将FR和MO 简化为一个合力（如图）。合力的大小、方向与主矢相同，合力作用线不通过简化中心。,第3章 力系的平衡平面力系的平衡方程及其应用,目录,32 平面力系的平衡方程及其应用,321 平衡条件和平衡方程,如果平面力系向任一点简化后主矢和主矩都等于零，则该力系为平衡力系。反之，要使平面力系平衡，主矢和主矩都必须等于零，否则该力系将最终简化为一个力或一个力偶。因此，平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零，即,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,上面的平衡条件可用下面的解析式表示,为书写方便，已将上式中的下标
13、i略去。上式称为平面力系的平衡方程。其中前两式称为投影方程，它表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；后一式称为力矩方程，它表示力系中所有各力对任一点之矩的代数和等于零。,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,例32 梁AB的A端为固定铰支座，B端为活动铰支座(如图)，梁上受集中力F与力偶M的作用。已知F=10 kN，M=2 kNm，a=1m，试求支座A、B处的反力。,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,解 (1)取研究对象。由于已知力和待求力都作用于梁AB上，故选取梁AB为研究对象。,(2)画受力图。,A,B,C,FAx,FAy,F,M,FB
14、,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,(3)列平衡方程。建立坐标系Axy，列出平衡方程,Fx=0，FAxFBcos45=0 Fy=0，FAyF+FBsin45=0 MA=0，FaM+ FBsin453a=0,由于力偶中的两个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在写投影方程时不必考虑力偶。,(4)解方程。得,FAx= FBcos45=4 kN FAy= FFBsin45=6 kN,FAx、FAy和FB的计算结果均为正值，表示力的指向与假定的指向相同(若为负值，则表示力的指向与假定的指向相反)。,y,x,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,(5)讨论。本题若写出对
15、A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程，则同样可求解。即由 Fx=0，FAxFBcos45=0 MA=0，FaM+ FBsin453a=0 MB=0，FAy3a+ F2aM=0 解得 FAx=4 kN，FAy=6 kN，FB=5.66 kN,若写出对A、B、D三点的力矩方程 MA=0，FaM+ FBsin453a=0 MB=0，FAy3a+ F2aM=0 MD=0，FAx3aFaM=0 则也可得到同样的结果。,A,B,C,FAx,FAy,F,M,FB,45,y,x,D,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,由上面例题的讨论可知，平面力系的平衡方程除了基本形式外，还有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下：,Fx=0（或Fy=0） MA=0 MB=0 其中A、B二点连线不能与x轴（或y轴）垂直。以及,MA=0 MB=0 MC=0 其中A、B、C三点不能共线。,第3章 力系的平衡 平面力系的平衡方程及其应用,目录,在应用二力矩形式或三力矩形式时，必须满足其限制条件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。,由上面的例题可看出，求解平面力系平衡问
