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1、,第七章 杆件的变形与刚度,第七章 杆件的变形与刚度,返回,【内容提要】 杆件除满足强度要求外，还必须满足刚度要求。本章介绍杆件在拉压、扭转和弯曲时的变形计算，以及圆轴和梁的刚度计算。 【学习要求】 1. 熟练掌握拉压杆的变形计算。理解胡克定律，了解弹性模量、泊松比、拉压刚度的概念。 2. 掌握圆轴扭转时的变形与刚度计算。 3. 知道如何用积分法求梁弯曲时的变形。 4. 熟练掌握用叠加法求梁弯曲时的变形以及进行刚度计算。,第七章 杆件的变形与刚度,第七章 杆件的变形与刚度,返回,71 杆件拉（压）时的变形与刚度,72 圆轴 扭转时的变形与刚度,73 梁弯曲时的变形与刚度,目录,71 杆件拉（压
2、）时的变形与刚度,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,直杆受轴向拉力作用时，其产生的主要变形是沿轴线方向的伸长，同时杆的横向尺寸也有所缩小(图a)。,(a) (b),目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,1. 纵向变形,设杆的原长为l，变形后的长度为l1，则杆沿长度方向的变形为 l=l1l l称为杆的纵向变形。在拉伸的情况下(图a)，l1l，l0；在压缩的情况下(图b)，l1l，l0。,(a) (b),目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,纵向变形l只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。为了进一步描述杆的变形程度，根据43中线应变的
3、概念，在杆的各部分都均匀伸长的情况下，纵向变形l与原长l的比值称为纵向线应变，用表示，即,显然，拉伸时 0，称为拉应变；压缩时 0，称为压应变。 是一个量纲为1的量。,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,2. 胡克定律,大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，杆的纵向变形l与杆的轴力FN、杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即,引进比例常数E，则有,上式也称为胡克定律。式中E称为材料的弹性模量，它与材料的性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标；EA称为杆的拉压刚度，因而它代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚
4、度,上式也称为胡克定律。它表明材料在弹性范围内应力与应变的物理关系。,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,3. 横向变形,设图a所示拉杆原横向尺寸为d，变形后缩小为d1、，则其横向变形为 d=d1d 相应的横向线应变为,(a),(b),杆件受拉时(图a)，d0， 0；受压时(图b)，d0， 0。,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，其横向线应变 与纵向线应变 之比的绝对值为一常数，即, 称为泊松比或横向变形因数。它是一个量纲为1的量，其值随材料而异，可由试验测定。考虑到 与 的符号恒相反，上式也可写为, = ,
5、目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,弹性模量E和泊松比是材料固有的两个弹性常数。 表71给出了一些常用材料的E、 的约值，以供参考。 表71 常用材料的E和 的约值,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,例71 一木方柱（如图）受轴向荷载作用，横截面边长a200 mm，材料的弹性模量E10 GPa，杆的自重不计。试求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,解 由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为,FNAB100 kN ，FNBC260 kN,各段柱的纵向线应变为,目录,第
6、七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,全柱的总变形为两段柱的变形之和，即 l=lAB+lBC=0.5mm0.975mm=1.475mm,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,例72 一直径d10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0021mm，设材料的弹性模量E210GPa，泊松比0.3，试求轴向拉力F。,解 由于已知杆的直径缩小量，故先求出杆的横向线应变为,杆的纵向线应变为,根据胡克定律，可得横截面上的正应力为,目录,第七章 杆件的变形与刚度杆件拉（压）时的变形与刚度,E210109 Pa710-4147106Pa147 MPa,故,目录,72 圆
7、轴扭转时的变形与刚度,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,72l 圆轴扭转时的变形,圆轴扭转时的变形用两个横截面间绕轴线的相对扭转角来度量(如图)。,目录,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,如图所示，相距dx的两个横截面间的扭转角为（推导从略）,式中，T为横截面上的扭矩，以绝对值代入；G为材料的切变模量，Ip为横截面对圆心的极惯性矩。因此，相距l的两个横截面间的扭转角为,若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的数值相同，则上式中的T、G、IP均为常量，积分后得,扭转角的单位为rad。,目录,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,由上式可见，扭
8、转角与G IP成反比，即G IP越大，轴就越不容易发生扭转变形。因此把G IP称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。,工程中通常采用单位长度扭转角，即,单位长度扭转角 的单位为/m(度/米)。上述公式适用于材料在弹性范围内的情况。,目录,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,722 圆轴的扭转刚度计算,在设计受扭圆轴时，不仅要使其满足强度条件，还要满足刚度条件，即限制轴的扭转变形在一定的范围之内。通常规定圆轴的单位长度最大扭转角max 不能超过某一规定的许用值，即,该式称为刚度条件。式中的称为单位长度许用扭转角。各种轴的单位长度许用扭转角可在有关手册中查到。,利用刚度
9、条件，可以解决刚度校核、设计截面和确定许用荷载等三种类型的刚度计算问题。,目录,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,例73 已知传动轴的直径D = 90 mm，材料的切变模量G= 80103 MPa，单位长度许用扭转角 = 1.1 ()/m 。若轴承受的最大扭矩Tmax=2.86 kNm，试校核该轴的刚度。,解 截面的极惯性矩为,轴的单位长度最大扭转角为,可见满足刚度条件。,目录,第七章 杆件的变形与刚度圆周扭转时的变形与刚度,例74 圆轴受扭矩T=4 kNm的作用，已知材料切变模量G=80 103 M Pa，单位长度许用扭转角=0.25()/m。试由刚度条件设计圆轴的直径。,取圆
10、轴的直径d = 104mm。,目录,73 梁弯曲时的变形与刚度,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,73l 用积分法求梁弯曲时的变形,取变形前梁的轴线为x轴，与轴线垂直向下的轴为w轴（如图）。在平面弯曲的情况下，梁的轴线AB在xw平面内弯成一条光滑而又连续的曲线AB，称为梁的挠曲线。梁的变形可用以下两个位移量来表示：,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,1）挠度。 梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度，用w表示。规定沿w轴正向（即向下）的挠度为正，反之为负。,2）转角。 梁任一横截面绕其中性轴转过的角度，称为该横截面的转角，用表示。根据平面假
11、设，梁变形后的横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，因而横截面的转角也等于挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角。规定以顺时针转向时为正，反之为负。,x,A,B,F,x,B,w,w,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,梁横截面的挠度w和转角都随截面位置x而变化，是x的连续函数，即,w = w(x) = (x),上两式分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。在小变形条件下，由于转角很小，两者之间存在下面的关系：,可以证明：梁的挠曲线近似微分方程为,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,式中， M(x)为梁的弯矩方程，E为材料的弹性模量，I为横截面对中性轴的惯性矩。EI称为梁的弯曲
12、刚度，EI越大，梁越不容易发生弯曲变形，因此用它来表示梁抵抗弯曲变形的能力。,求解梁的挠曲线近似微分方程，就可求得梁的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。这种求挠度和转角的方法称为积分法。 积分法是求梁变形的基本方法。表72列出了几种常用梁在简单荷载作用下的变形，以备查用。,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,表72 常用梁在简单荷载作用下的变形,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,续表72 常用梁在简单荷载作用下的变形,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,续表72 常用梁在简单荷载作用下的变形,目录,第七章 杆件的变形与刚度
13、梁弯曲时的变形与刚度,续表72 常用梁在简单荷载作用下的变形,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,732 用叠加法求梁弯曲时的变形,在积分法中，由于利用了“小变形假设”，并且梁的挠曲线微分方程是材料在弹性范围内导出的，所以梁的变形与作用于梁上的荷载成线性关系。根据叠加原理，当梁上受到多个荷载作用时，可先分别计算出单个荷载作用时梁的挠度与转角，然后再进行叠加(求代数和)，即得梁在所有荷载共同作用下的挠度与转角。这种求挠度和转角的方法称为叠加法。,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,例75 试用叠加法求图示简支梁跨中C横截面的挠度和支座B横截面的转角。设EI为常数。
14、,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,解 先将梁上的荷载分为均布荷载q和集中力偶Me单独作用的情况(图b、c)。由表72查得简支梁在均布荷载和集中力偶单独作用下，C横截面的挠度和B横截面的转角分别为,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,将上述结果代数相加，即得在两种荷载共同作用下的挠度和转角：,目录,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,例76 图示简支梁，在右段上受集度为q的均布荷载作用。试用叠加法求跨中C横截面的挠度wC。设EI为常数。,目录,解 在距B端x处取微荷载dF=qdx，这相当于在简支梁上作用一集中力dF(图b)。由表72查得在dF作用下，
15、C横截面的挠度为,将上式积分，即得在图a所示均布荷载作用下，C横截面的挠度为,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,目录,733 梁的弯曲刚度计算,如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，它也不能正常工作。例如房屋中的楼面板或梁变形过大，会使抹灰出现裂缝；厂房中的吊车梁变形过大，会影响吊车的运行，等等。因此，在按强度条件对梁进行设计后，还要对梁进行刚度计算，即检查梁在荷载作用下的变形是否在许用范围之内。,梁的刚度条件为,式中，wmax、max为梁的最大挠度和最大转角，w、 为许用挠度和许用转角。w、 值可在有关设计规范中查得。,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,目录,在建筑工程中，通常对梁的挠度加以限制。梁的许用挠度w在 l范围内，l为梁的跨长。并且，如果梁的强度条件满足，一般刚度条件也能满足。但对于刚度要求很高的梁，则必须进行刚度计算，此时刚度条件可能起到控制作用。,第七章 杆件的变形与刚度梁弯曲时的变形与刚度,
